Bac 2024 : sujets corrigés de l'épreuve de Spécialité Maths 🎓
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Voici des éléments de réponses possibles pour les exercices proposés.
Exercice 1
1) $P(Q)=0,917$
$P_{\bar{R}}(\bar{Q})=0,65$
2) a)
b) D'après la formule des probabilités totales on a :
$P(Q)=P(R \cap Q)+P(\bar{R} \cap Q) \Leftrightarrow 0,917=x \times 0,98+(1-x) \times 0,35$
$\Leftrightarrow \quad 0,63 x+0,35=0,917$ $\Leftrightarrow x=0,9$
3) $P_Q(R)=\dfrac{P(R \cap Q)}{P(Q)}=\dfrac{0,9 \times 0,98}{0,917} \quad P_Q(R) \approx 0,962$
4) On cherche $n$ tel que $P(x \geqslant n)=0,65$
Avec la calculatrice on trouve $P(x \geqslant 12)=0,649$ et $P(x \geqslant 11)=0,797$.
Donc à partir de la note de $12$ sur $20$, $65 \%$ des élèves sont récompensés.
5)
$E(s)=\displaystyle \sum_{i=1}^{10} E\left(N_\iota\right)=10 \times 20 \times 0,615$ $E(s)=123$
$V(s)= \displaystyle \sum_{i=1}^{10} V\left(N_\iota\right)=10 \times 20 \times 0,615 \times(1-0,615)$
on obtient $V(s)=47,355$
6) a) $M$ modélise la moyenne des notes obtenues par les 10 étudiants.
b) $E(M)=\dfrac{1}{10} \times E(S)$ donc $E(M)=12,3$ $V(M)=\left(\dfrac{1}{10}\right)^2 \times V(S)$ donc $V(M)=0,47355$
c) On veut déterminer $P(10,3
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :
$P(|M-12,3| \geqslant 2) \leqslant \dfrac{V(M)}{2^2}=\dfrac{0,47355}{4}$
donc $1-P(|M-12,3|<2) \leqslant \dfrac{0,47355}{4}$ $\Leftrightarrow$ $P(|M-12,3|<2) \geqslant 0,882>0,8$
L'affirmation est justifiée.
Exercice 2
Partie A
1) Ajout de $\rm 15 ~g$ dans $\rm 50~000~L$ augmente le taux de $\rm \dfrac{15}{50000} ~g \cdot L ^{-1}$ soit $\rm \dfrac{15}{50} ~mg \cdot L ^{-1}$ soit $\rm 0,3 ~mg \cdot L ^{-1}$
2) a) On note $P_n$ la proposition : $v_n \leq v_{n+1} \leq 4$
Initialisation :
$v_0=0,7$
$v_4=0,92 \times v_0+0,3=0,944$
On a bien $v_0 \leqslant v_1 \leqslant 4$. La proposition $P_0$ est vraie.
Hérédité : supposons $P_R$ varie pour un certain $k$ entier naturel et montrons que $P_{k+1}$ est vrai.
$v_k \leq v_{k+1} \leq 4$
$\Leftrightarrow 0,92 v_{k}+0,3 \leq 0,92 v_{k+1}+0,3 \leqslant 4 \times 0,92+0,3$
$\Leftrightarrow v_{k+1} \leq v_{k+2} \leq 3,98 \leq 4$
Donc $P_{k+1}$ est vrai.
Conclusion : La proposition $P_n$ est vraie au rang $n=0$ et héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n, v_n \leq v_{n+1} \leq 4$
b) La suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante et majorée elle est donc convergente vers une limite $l$
La fonction $f : x \longmapsto 0,92 x+0,3$ est définie et contenue sur $[0 ; 4]$ et la suite $(v_n)$ est définie par la relation de récurrence $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$, avec $v_0 \in[0 ; 4]$
Comme $\left(v_n\right)$ est convergente vers $l$, $l$ est solution de $f(x)=x$.
$l \times 0,92+0,3=e$
donc $l=\dfrac{0,3}{0,08}=3,75$
la limite de $(v_n)$ et 3,75
3) A long terme, le taux de chlore va dépasser $\rm 3~mg . L ^{-1}$ et ne sera plus conforme.
4)
5) L'instruction alerte_chlore (3) renvoie la valeur 17. Le taux de chlore ne sera plus conforme après 17 jours.
Partie B
1) Les solutions de l'équation homogène associée $\left(E_0\right) : y^{\prime}+0,08 y=0$ sont les fonctions $x \mapsto C . e^{-0,08 x}$ avec $C \in \mathbb R$.
La fonction constante de valeur $\dfrac{q}{4}$ est bien une solution particulière de (E) car
$0,08 \times \dfrac{q}{4}=0,02 \times q=\dfrac{q}{50}$
2) a) On a $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-0,08 x}=0$ donc $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\dfrac{q}{4}$
b) On souhaite que $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2$ donc $q=8$
On a $f(0)=0,7$ donc $C+2=0,7$ soit $C=-1,3$
Exercice 3
1) $f(-1)=-1$ et $f^{\prime}(-1)=1$
2) $C_f$ semble concave sur $]-2 ;-1[$ et convexe sur $]-1 ;+\infty[$ avec un point d'inflexion à l'abscisse $(-1)$.
3) Il n'y a qu'une seule solution à l'équation $f(x)=0$ comprise entre 0 et 0,2 .
Une valeur arrondie de cette solution est 0,1 à $10^{-1}$ près.
Partie B
1) $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-2} \ln (x+2)=-\infty$ et $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-2}\left(x^2+2 x-1\right)=-1$ donc par somme, $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-2} f(x)=-\infty$
La droite d'équation $x=-2$ est une asymptote verticale de $C_f$.
2) La fonction $x \longmapsto \ln (x+2)$ est dérivable sur $]-2 ;+\infty[$ et la fonction polynomiale $x \mapsto x^2+2 x-1$ est dérivable sur $]-2 ;+\infty[$ donc par somme, $f$ est dérivable sur $]-2 ;+\infty[$
$\forall x > -2 \quad f^{\prime}(x)=2 x+2+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2 x^2+4 x+2 x+4+1}{x+2}=\dfrac{2 x^2+6 x+5}{x+2}$
3) La fonction $x \longmapsto 2 x^2+6 x+5$ est positive en $\mathbb R$ car le discriminant du trinôme $2 x^2+6 x+5$ est négatif.
Tableau de variations
4) La fonction f est continue car dérivable sur $]-2 ; +\infty[$ et strictement croissante de moins l'infini à plus l'infini. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha$ sur $]-2 ;+\infty[$ tel que $f(\alpha)=0$
A la calculatrice, on obtient 0,12 comme valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
5)
$f(x) < 0$ pour $x \in]-2 ; \alpha[$
$f(x)=0$
$f(x) > 0$ pour $x \in ]\alpha ;+\infty[$
6) $x \mapsto \dfrac{1}{x+2}$ dérivable sur $]-2 ;+\infty$ et $x \mapsto 2 x^2+6 x+5$ est dérivable sur $\mathbb R$, donc par produit $f^\prime$ est dérivable sur $]-2 ;+\infty[$
$\forall x > -2$ $f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{(4 x+6)(x+2)-\left(2 x^2+6 x+5\right)}{(x+2)^2}=\dfrac{2 x^2+8 x+7}{(x+2)^2}$
Le trinôme $2 x^2+8 x+7$ a pour discriminant $\Delta=64-4 \times 2 \times 7=8$ et pour racines $x_1=\dfrac{-8-\sqrt{8}}{4}$ et $x_2=\dfrac{-8+\sqrt{8}}{4}=-2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Or $x_1 < -2$ et $x_2 >-2$ donc le trinôme ne s'annule qu'en $x_2$ sur $]-2 ;+\infty[$, en changeant de signe.
Donc $C_f$ n'admet qu'un seul point d'inflexion qui a pour abscisse $-2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Partie C
1) M a pour coordonnées $(x ; g(x))$
donc $\mathrm {JM^2}=(x-0)^2+(g(x)-1)^2=x^2+[\ln (x+2)-1]^2$
$\forall x > -2, \quad h(x)=x^2+[\ln (x+2)-1]^2$
2) a) Tableau de variations de $h$
b) $h$ admet un minimum au point d'abscisse $\alpha$. La distance $\rm JM$ est minimale pour la valeur $\alpha$.
3) a) On a $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+2 x-1+\ln (\alpha+2)=0$
$\Leftrightarrow \ln (\alpha+2)=1-2 \alpha-\alpha^2$
b) La tangente à $C_g$ en $\rm M_\alpha$ a pour pente $\dfrac{1}{\alpha+2}$
$\vecrm{JM}_\alpha\left(\alpha ; \ln (\alpha+2)-1\right)$ soit $\vecrm{JM_{\alpha}} \left(\alpha ;-\alpha(2+ \alpha)\right)$
La droite $\rm (JM_{\alpha})$ a pour pente $\dfrac{-\alpha(2+\alpha)}{\alpha}=-(2+\alpha)$
Le produit des coefficients directeurs de la tangente à $C_g$ au point $\rm M_\alpha$ et de la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ est égal à $(-1)$, ces deux droites sont perpendiculaires.
Exercice 4
$\overrightarrow{AB}(-2 ; 4 ; 3)$
$\overrightarrow{AC}(2 ; 4 ; 1)$
$\overrightarrow{AD}(-2 ; 0 ; 4)$
* $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires donc $(ADC)$ est un plan
* Soit $\vec{n}$ un vecteur normal au plan $\mathcal {P}$.
$\vec{u}(8 ;-5 ; 4)$
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}=8 \times 2+(-5) \times 4+4 \times 1=0$
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AD}=8 \times(-2)+4 \times 4=0$
donc $\vec{n}$ est un vecteur normal an plan $(ADC)$.
On vérifie si les coordonnées de $A$ vérifiant l'équation de $(ABC)$.
$8 \times 2-16=0$ donc $A$ appartient au plan $\mathcal P$.
Affirmation 1 : vraie.
$\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}=8 \times(-2)+(-5) \times 4+4 \times 3 \neq 0$
donc $\overrightarrow{A B}$ er $\vec{n}$ ne sont pas orthogonaux donc $B$ n'appartient pas au plan $(ACD)$.
Affirmation 2 : fausse.
$\overrightarrow{BH}(1 ;-3 ;-1)$ donc $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BH}$ ne sont pas colinéaires, les droites $(AC)$ et $(BH)$ ne sont pas parallèles.
Représentations paramétriques :
$(B H)\left\{\begin{array}{l}x=-t \\ y=4-3 t \\ z=3-t\end{array}\right.$
$(A C)\left\{\begin{array}{l}x=2+2u \\ y=4u \\ z=u\end{array}\right.$
$u=3-t$ donc $4-3 t=4u=4(3-t)=12-4 t$
Donc $t=8$ et $u=-5$
Les droites sont sécantes.
Affirmation 3 : vraie.
Un vecteur $\vec n$ normal à $(ABC)$ est $\vec n(1 ;-1 ; 2)$
$\overrightarrow{DH}(-1 ; 1 ;-2)$.
$\overrightarrow{DH}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires donc $\overrightarrow{DH}$ est normal au plan.
Les coordonnés de $H$ vérifient l'équation de $(A B C)$
Affirmation 4 : vraie.
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