Définition
Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $\mathrm{ Re}(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\mathrm{Im}(z)$.
$\bar{z} = a - bi$ est le nombre complexe conjugué de $z = a + bi$.
Addition et soustraction
Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.
Exemples : ${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 + {z}_2 = (3 + 5i) + (-2 + 3i) = (3 + (-2)) + (5 + 3)i = 1 + 8i.$
${z}_1 - {z}_2 = (3 + 5i) - (-2 + 3i) = (3 + 2) + (5 - 3)i = 5 + 2i.$
Multiplication
Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que $i^2 = -1$.
Exemple : ${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 \times {z}_2 = (3 + 5i)(-2 + 3i) = -6 + 9i -10i -15 = -21 - i.$
Division
Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple : ${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 5i}{-2 + 3i} = \frac{(3+5i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)} = \frac{-6-9i-10i+15}{13} = \frac{9 - 19i}{13} = \frac{9}{13} - \frac{19}{13}i.$