Second degré

Fonction polynôme de degré 2

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels, $a$ non nul.

La droite d’équation $x = \frac{-b}{2a}$ est axe de symétrie pour la courbe représentative de $f$, qui est une parabole.

• Si $a$ > 0, $f$ est strictement décroissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{-b}{2a}$ ] et strictement croissante sur [$\frac{-b}{2a}$  ; $+\infty$[ (la parabole est orientée vers le haut).

• Si $a$ < 0, $f$ est strictement croissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{-b}{2a}$ ] et strictement décroissante sur [$\frac{-b}{2a}$  ; $+\infty$[ (la parabole est orientée vers le bas).

• $f(\frac{-b}{2a})$ = $\frac{-b^2 + 4ac}{4a}$ donc le sommet de la parabole est le point S($\frac{-b}{2a}$ ; $\frac{-b^2 + 4ac}{4a}$).

Equation du second degré

Soit $f (x) = a{x}^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. $\Delta = b² - 4ac$.

Si $\Delta < 0$ l'équation $a{x}^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution réelle.

Si $\Delta = 0$ l'équation $a{x}^2 + b x + c = 0$ a une solution double $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Si $\Delta > 0$ l'équation $a{x}^2 + bx + c = 0$ a deux solutions distinctes ${x}_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et ${x}_2= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Exemples :

• $-2{x}^2 + 3x - 7 = 0$. $\Delta = 9 - 56 = - 47$. $\Delta < 0$ et $S = \emptyset$.

• $\frac{1}{4} {x}^2 - \frac{4}{5}x + \frac{16}{25} =
  0$. $\Delta = \frac{16}{25} - 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{16}{25}= 0$.
  ${x}_0 = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{4}}$ $= \frac{4}{5} \times \frac{2}{1}$ $=
  \frac{8}{5}$. $S = {\frac{8}{5}}$.

• $-2{x}^2 + 3x + 5 = 0$. $\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
  ${x}_1 = \frac{-3-7}{-4}$ $= \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ et ${x}_2 =
  \frac{-3+7}{-4} = -1$. $S = \{-1 ; \frac{5}{2}\}$.