Dérivation et fonction inverse

Tangente à une courbe en un point

La droite représentant la "meilleure" approximation affine d’une fonction en un point est appelée tangente a la courbe représentative de cette fonction en ce point.

Nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse ${x}_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse ${x}_0$. Il est noté $f’(x_0)$.

Equation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $x_0$ a pour équation :

$y = f’(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Équation réduite de droite

Si une droite n’est pas verticale, elle a pour équation $y = f(x) = ax + b$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels. 

$a$ est le coefficient directeur de cette droite et $b$ son ordonnée à l’origine.

Si les points $\mathrm A(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}})$ appartiennent à cette droite non verticale, le coefficient directeur de cette droite est égal à :
$\displaystyle a = \frac{y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}}}$.

Dérivée des fonctions usuelles

Opérations sur les dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et $k$ un nombre réel.

$ku$ est dérivable sur I et $(ku)’ = ku’$.

$u + v$ est dérivable et $(u + v)’ = u’ + v’$.

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f’(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Si $f’(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d’une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f’(a) = 0$ et $f’$ change de signe en $a$.

Définition et variation

La fonction inverse ($x\mapsto \frac{1}{x}$) est définie sur les intervalle $]-\infty~;0[$ et $]0~;+\infty[$.

Elle est dérivable sur les intervalles $]-\infty~;0[$ et $]0~;+\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$, qui est négative sur ces deux intervalles.

Elle est donc décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;0[$ et sur l'intervalle $]0~;+\infty[$.

Représentation graphique 

Sa représentation graphique (en bleu) est une hyperbole.

C’est une fonction impaire : sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Coût total de production

Le coût total de production de $x$ unités est la somme des frais fixes et du coût de fabrication des $x$ unités. 

Coût moyen unitaire

Le coût unitaire moyen est le coût total de productions de $x$ unités divisé par le nombre $x$ d'unités.