Probabilités conditionnelles

Un tableau croisé d’effectifs est un tableau à double entrée qui présente un des 2 caractères étudiés en ligne et le deuxième en colonne.
L’intersection d’une ligne et d’une colonne contient l’effectif de ceux qui possèdent les deux valeurs de cette ligne et de cette colonne pour les 2 caractères.

Exemple :
Deux ateliers (Ouest et Est) d’une même entreprise fabriquent des pièces détachées dont certaines sont défectueuses.
On note dans un tableau croisé d’effectifs la répartition des pièces entre les deux ateliers et selon si elles sont défectueuses ou non.

Avec ce tableau croisé d’effectifs, par exemple, la fréquence ou probabilité conditionnelle de D sachant E est :
$\displaystyle \rm f_ E (D) = P_E (D) = \frac{card(E \cap D)}{card(E)} = \frac{24}{800} = \frac{3}{100} = 0,03.$
La probabilité qu’une pièce prise au hasard (parmi les $1~800$) soit défectueuse sachant qu’elle provient de l’entreprise Est est donc 0,03.

De même, la probabilité qu’une pièce prise au hasard (parmi les $1~800$) soit non défectueuse sachant qu’elle provient de l’entreprise Ouest est :
$\rm \displaystyle f_ O (ND) = P_O (ND) = \frac{card(O \cap ND)}{card(O)} = \frac{980}{1~000} = 0,98.$

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cap B$ ("$\rm A$ inter $\rm B$") : $\rm A \cap B$ correspond à l'événement "$\rm A$ et $\rm B$".

Evénements incompatibles

Lorsqu'aucune issue ne réalise les évènements $\rm A$ et $\rm B$, c'est-à-dire $\rm A \cap B = \emptyset$, on dit que $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles.

Evénements indépendants

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux évènements indépendants, on a : 
$\rm P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cup B$ ("$\rm A$ union $\rm B$") : $\rm A \cup B$ correspond à l'événement "$\rm A$ ou $\rm B$".

Propriétés

Pour $\rm A$ et $\rm B$ deux évènements,

$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
Si $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles, on a : 
$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Soit $\rm A$ et $\rm B$ deux événements ($\rm A$ de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement $\rm B$ sachant que l’événement $\rm A$ est réalisé est : 

$\rm P_{A} (B) = \dfrac{\rm P(A \cap B)}{P(A)}$.

Exemple : 

On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a : 

$\rm P_A (B) = 0,6$ ; $\rm P_A (\bar{B}) = 0,4$ ; $\rm P_{\bar{A}} (B) = 0,7$ ; $\rm P_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$.

On a aussi, par exemple :

$\rm P(A \cap B) = \rm P_A (B) \times P(A)$ $= 0,6 \times 0,2 = 0,12$ et  $\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

Soient $\rm A$ et $\rm B$ deux événements tels que $\rm A$, $\rm \bar{A}$, $\rm B$ et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. $\rm A \cap B$ et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l’événement $\rm B$ et on a : 

\[\begin{array}{ll}\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)\\
\rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})\end{array}\]

Exemple :

On a vu que :

\[\rm P(A\cap B) ={P}_A(B) \times P(A)=0,6\times 0,2 = 0,12\]

et

$\rm P(\bar{A} \cap B) = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $\rm = 0,7 \times 0,8 = 0,56.$

D’après la formule des probabilités totales :

$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ $= 0,12 + 0,56 = 0,68.$