Probabilités 2

Loi exponentielle

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est définie par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

Pour tout $t > 0$, la probabilité de l'événement $(X \leq t)$ est donnée par $P(X \leq t) = \int_0^{t} \lambda e^{-\lambda x} dx$.

L'espérance de cette variable aléatoire $X$ est $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, sa variance $V(X) = \frac{1}{{\lambda}^2}$ et son écart-type $\sigma =\frac{1}{\lambda}$.

Loi de Poisson

Pour Y une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ > 0, on a :

$P(Y = k) = \frac{{\lambda}^k}{k !} e^{-\lambda}$ pour tout $k$ entier naturel.

L'espérance de cette variable aléatoire $Y$ est $E(Y) = \lambda$, sa variance $V(Y) = \lambda$ et son écart-type $\sigma = \sqrt{\lambda}$.

Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel :
$\bullet$ les sommets du graphe représentent les différents états possibles du système
$\bullet$ les poids (ou étiquettes) des arêtes correspondent aux probabilités de passage (c’est-à-dire de transition) d’un état à l’autre
$\bullet$ la somme des poids des arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

Dans une matrice de transition, $M$ est associée à un graphe probabiliste d’ordre $n$ (dont les sommets sont numérotés de 1 à $n$). Chaque coefficient $m_{ij}$ correspond à la probabilité de passage de l’état $i$ à l’état $j$.
Soit $P_0$ la matrice ligne décrivant l’état initial du système et $P_n$ la matrice ligne décrivant l’état probabiliste à l’étape $n$.
On a : $P_{n+1}=P_n\times M$ donc $P_n=P_0\times M^n$.
Un état $P$ sera dit état stable du système si $PM=P$.