Équations différentielles

Équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction y dérivable qui s’écrit sous la forme : ay’(t) + by(t) = c(t) (E) où a et b sont des nombres réels, a non nul, et c une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de (E) et des solutions générales de l’équation (E’) ay’(t) + by(t) = 0 sans second membre.

On a donc y(t) = $ke^{-\frac{b}{a} t}$ + $y_0 (t)$ où k est un nombre réel et $y_0$ une solution particulière de (E).

Équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction y deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme : ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = d(t) (E) où a, b et c sont des nombres réels, a non nul, et d une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de (E) et des solutions générales de l’équation (E’) ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0 sans second membre.

On appelle $ar^2 + br + c = 0$ équation caractéristique de (E’).

• Si $\Delta$ > 0, l’équation a deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$ et les solutions générales de (E’) sont de la forme $y_0(t) = \mathrm{A} e^{r_1 t} + \mathrm{B} e^{r_2 t}$ où A et B sont des réels.
• Si $\Delta$ = 0, l’équation a une seule solution $r = -\frac{b}{2a}$ et les solutions générales de (E’) sont de la forme $y_0(t)$ = $(\mathrm{A} + \mathrm{B} t)e^{rt}$ où A et B sont des réels.
• Si $\Delta$ < 0, l’équation a deux solutions complexes $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$ et les solutions générales de (E’) sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} \cos(\beta t) + \mathrm{B} \sin(\beta t))e^{\alpha t}$ où A et B sont des réels.

Equation du second degré dans $\mathbb{C}$

On considère l'équation du second degré dans $\mathbb{C}$ a$z^2$ + bz + c avec a $\neq$ 0.
On pose $\Delta = b^2 - 4ac$ (discriminant de l'équation).
Si $\Delta > 0$ l'équation a deux solutions réelles distinctes $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta = 0$ l'équation a une solution réelle dite double $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$.
Si $\Delta < 0$ l'équation a deux solutions complexes conjuguées distinctes $\displaystyle z_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle z_2 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Exemple : pour l'équation $-2z^2 + 3z - 7 = 0$, $\Delta = 9 - 56 = - 47 < 0$ et $-\Delta = 47$.
L'équation a deux solutions complexes conjuguées distinctes $\displaystyle z_1 =\frac{-3-i\sqrt{47}}{-4} = \frac{3+i\sqrt{47}}{4}$ et $\displaystyle z_2 = \frac{-3+i\sqrt{47}}{-4} = \frac{3-i\sqrt{47}}{4}$.