Suites numériques

Définition

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors $u_{n + 1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.

Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_n}$ et on obtient un réel $q$.

 Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

 Monotonie d'une suite géométrique 

Si $u_0$ et $q$ sont strictement positifs :

- si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante ;

- si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement décroissante ;

- si $q =1$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$,

$S = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1}$ $= u_0 \frac{1 - q^n}{1 - q}$.