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Calcul intégral
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Propriétés d’une intégrale
Définition et propriétés d’une intégrale
On considère une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b](a<b) et on note F une de ses primitives. On a : ∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a).
Pour f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b](a<c<b) et un réel k :
- ∫ba(f(x)+g(x))dx=∫baf(x)dx+∫bag(x)dx
- ∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx
- ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
- f(x)>0 sur [a ; b]⇒∫baf(x)dx>0
- f(x)>g(x) sur [a;b]⇒∫baf(x)dx>∫bag(x)dx
Aire entre deux courbes
Soit f et g deux fonctions continue et telles que f(x)<g(x) sur l’intervalle [a ; b]. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, celle de g et les droites d'équation x=a et x=b est ∫ba(g(x)−f(x))dx (en unités d’aire).
Valeur moyenne
Soit μ la valeur moyenne d'une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b](a<b).
On a μ=1b−a∫baf(x)dx.