Calcul des coefficients de Fourier

1) Coefficients de Fourier réels

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique sur ${\Bbb R}$.

On définit les coefficients de Fourier réels de $f$ par $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}, a_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt){\rm d}t}$ et $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^{*}, b_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt){\rm d}t}$

Remarque 1 :

Il y a parfois une définition particulière pour le coefficient $a_0(f)$. Tout dépend comment est définit la série de Fourier associée à $f$.

Remarque 2 :

Comme $f$ est $2\pi$-périodique, les fonctions $t \mapsto f(t)\cos(nt)$ et $t \mapsto f(t)\sin(nt)$le sont aussi, on peut alors intégrer sur tout segment de longueur $2\pi$.

C'est-à-dire $\forall \alpha \in {\Bbb R}$, $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}, a_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}f(t)\cos(nt){\rm d}t}$ et $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^{*}, b_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}f(t)\sin(nt){\rm d}t}$

2) Cas d'une fonction $T$-périodique

Si la fonction $f$ est $T$-périodique alors on se ramène à une fonction $2\pi$-périodique en posant :

\[\displaystyle{g(t) = f\left(\frac{t}{\omega}\right)}\text{ avec }\displaystyle{\omega = \frac{2\pi}{T}}.\]

$\omega$ s'appelle la pulsation.

$g$ est alors une fonction $2\pi$-périodique.

En effet, pour tout réel $t$, on a $\displaystyle{g(t+2\pi) = f\left(\frac{t+2\pi}{\omega}\right) =f\left(\frac{t}{\omega} + T\right) =f\left(\frac{t}{\omega}\right)=g(t)}$ car $f$ est $T$ périodique.

Par définition, les coefficients de Fourier de $f$ sont ceux de la fonction $g$.

On a donc $\forall n \in {\Bbb N}$, $a_n(f) = a_n(g)$ et $\forall n \in {\Bbb N}^{*}$, $b_n(f) = b_n(g)$.

On montre à l'aide d'un changement de variable que

$\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}, a_n(f) = \frac{2}{T}\int_0^{T}f(t)\cos(n\omega t){\rm d}t}$ et $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^{*}, b_n(f) = \frac{2}{T}\int_0^{T}f(t)\sin(n\omega t){\rm d}t}$

3) Propriétés des coefficients de Fourier réels.

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique sur ${\Bbb R}$.

Théorème :

a) Si $f$ est paire, $\forall n \in {\Bbb N}^{*}, b_n(f) =0$ et $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}, a_n(f) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(t)\cos(nt){\rm d}t}$.

b) Si $f$ est impaire, $\forall n \in {\Bbb N}, a_n(f) =0$ et $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^*, b_n(f) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(t)\sin(nt){\rm d}t}$.