Primitives et intégration, Intégrales généralisées

1) Notion d'intégrale généralisée.

a) Définition et exemples

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b[$ (avec éventuellement $b$ un nombre fini ou égal à $+\infty$).

On dit que l'intégrale $\displaystyle{\int_a^{b}f(t){\rm d}}t$ converge si la limite de $\displaystyle{\int_a^{\epsilon}f(t){\rm d}t}$ existe lorsque $\epsilon$ tend vers $b^-$.

Dans ce cas, on note $\displaystyle{\int_a^{b}f(t){\rm d}t = \lim_{\epsilon \rightarrow b^-}\int_a^{\epsilon}f(t){\rm d}t}$.

Exemple : $\displaystyle{\int_0^{1}\frac{1}{t}{\rm d} t}$ diverge. La fonction $1/t$ qu'on intègre est définie et continue sur $]0,1]$. Il y a donc un problème en $0$.

Soit un réel $\epsilon$ tel que $\epsilon >0$.

Alors $\displaystyle{\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{t}{\rm d} t = \left[\ln(t)\right]_{\epsilon}^{1} = -\ln(\epsilon)}$.

Or $\displaystyle{\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} -\ln(\epsilon) = +\infty}$.
Donc l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{1}\frac{1}{t}{\rm d} t}$ diverge.

Exemple : $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}{\rm d} t}$ converge.

En effet, soit un réel $\epsilon$ tel que $\epsilon \ge 1$.

Alors $\displaystyle{\int_1^{\epsilon}\frac{1}{t^2}{\rm d} t = \left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\epsilon} = -\frac{1}{\epsilon}+1 }$.
Or $\displaystyle{\lim_{\epsilon \rightarrow +\infty} -\frac{1}{\epsilon}+1 = 1}$.
Donc l'intégrale $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}{\rm d} t}$ converge et $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}{\rm d} t} = 1$.

b) Intégrales de référence

Théorème : Intégrale de Riemann. Soit $\alpha$ un réel.

L'intégrale $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}{\rm d} t}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

L'intégrale $\displaystyle{\int_0^{1}\frac{1}{t^{\alpha}}{\rm d} t}$ converge si et seulement si $\alpha<1$.

Si $a<0$ alors l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{+\infty}e^{-at}{\rm d} t}$ converge.

2) Intégration par parties (IPP)

Attention : il ne faut pas faire d'IPP dans une intégrale généralisée mais uniquement dans des intégrales classiques c'est-à-dire lorsque la fonction à intégrer est définie et continue sur un segment $[a,b]$.

a) Formules

Formule d'IPP pour une primitive : $\displaystyle{\int u'(x)v(x){\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x}$.

Formule d'IPP pour une intégrale : $\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x}$.

Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif.

b) Exemples : calculons une primitive de $f(x) = xe^{-x}$. On choisit $u'(x)=e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = -e^{-x}$ et $v'(x)=1$.

La formule d'IPP donne : $\displaystyle{F(x) = \int xe^{-x}{\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x = -e^{-x}x - \int -e^{-x}{\rm d}x}$

$\displaystyle{F(x) = -xe^{-x} + \int e^{-x}{\rm d}x = -xe^{-x} -e^{-x} = -(x+1)e^{-x}}$.

Remarque : on peut vérifier le résultat en dérivant $F$. On trouve bien $F'=f$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

Calculons l'intégrale $\displaystyle{I = \int_1^e \ln(x){\rm d}x}$.

On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$.
D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a

$\displaystyle{I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^ex \frac{1}{x}{\rm d}x = e\ln(e)-1\ln(1) - \int_1^e 1 {\rm d}x = e - (e-1) = 1}$.

3)

a) La formule de changement de variable.

Le but est de réécrire l'intégrale sous une autre forme de façon à ce que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer.

La méthode est la suivante.

1ère étape :

On définit $u = \varphi(t)$, $t$ étant l'ancienne variable d'intégration et $u$ la nouvelle.

2ème étape :

On dérive l'égalité précédente pour obtenir : ${\rm d}u = \varphi'(t) {\rm d}t$ et on exprime ${\rm d}t$ en fonction de $u$ et ${\rm d}u$.

3ème étape :

On réécrit l'intégrale en fonction uniquement de la nouvelle variable $u$ et on change les bornes dans le cas d'une intégrale (ou on revient à la variable initial dans le cas d'une primitive).

b) Exemples :

On veut calculer $\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t}$. On ne voit pas de primitive de la fonction à intégrer.

1ère étape :

On décide de poser $u=e^{2t}$.

2ème étape :

On a alors ${\rm d}u = 2e^{2t} {\rm d}t$ (car $(e^{2t})' = 2e^{2t}$). Donc $\displaystyle{{\rm d}t = \frac{{\rm d}u}{2e^{2t}} = \frac{1}{2u}{\rm d}u}$ car $e^{2t}=u$. 

3ème étape :

Lorsque $t = 0$ alors $u=e^{2\times 0} =1$. Lorsque $t=1$ alors $u = e^{2\times 1}=e^2$.

L'intégrale s'écrit $\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t = \int_1^{e^2} \frac{u^2}{u+1}\frac{1}{2u}{\rm d}u = \frac{1}{2} \int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u }$.

Pour calculer l'intégrale, on décompose la fraction :

\[\displaystyle{\frac{u}{1+u} = \frac{1+u-1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u}}\]

On a alors $\displaystyle{\int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u = \int_1^e 1 {\rm d}u - \int_1^{e^2} \frac{1}{1+u}{\rm d}u = [u]_1^{e^2} - [\ln(1+u)]_1^{e^2}} = e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)$.

Donc $\displaystyle{I = \frac{1}{2}\left(e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)\right)}$.

c)

Il est possible de faire des changements de variable dans une intégrale généralisée à condition que la fonction $\varphi$ de changement de variable respecte certaines condition : elle doit être dérivable et sa dérivée doit être continue (on dit que $\varphi$ est de classe $C^1$), $\varphi$ doit être strictement monotone et bijective. Dans ce cas, après changement de variable, la nouvelle intégrale est de même nature que la première c'est-à-dire si l'une converge l'autre converge, si l'une diverge l'autre diverge.

4) Primitive de polynômes trigonométriques.

Il s'agit de somme d'expressions du type $\cos^{p}(x)\sin^{q}(x)$ avec $p$ et $q$ des entiers naturels

Plusieurs cas sont à envisager.

1er cas :

Si $q$ est impair ET $p$ quelconque alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$.

Exemple : $\displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) \sin^3(x){\rm d}x = \int \cos^2(x) \sin^2(x)\sin(x){\rm d}x = \int \cos^2(x) (1-\cos^2(x)) \sin(x){\rm d}x}$.

Posons $y = \cos(x)$. Alors $d y = -\sin(x) d x$.

On a donc $\displaystyle{A(y) = - \int y^2 (1-y^2) {\rm d}y = -\int (y^2 - y^4){\rm d}y = - \frac{y^3}{3} + \frac{y^5}{5}=- \frac{\cos^3(x)}{3} + \frac{\cos^5(x)}{5}}$.

Remarque : lorsqu'on fait un changement de variable dans une primitive, ne pas oublier de revenir à la variable initiale. Ici, il faut revenir en $x$ c'est-à-dire remplacer $y$ par $\cos(x)$.

2ème cas :

Si $p$ est impair ET $q$ quelconque. C'est le même principe mais ici on fait le changement de variable $y=\sin(x)$.

3ème cas :

Si $p$ ET $q$ sont pairs, il faut linéariser l'expression $\cos^p(x)\sin^q(x)$.

Pour linéariser :

• Soit on utilise des formules de trigonométrie si les puissances ne sont pas trop élevées.

Exemple : Calculer $\displaystyle{I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(x){\rm d}x}$ (ici $p=2$ et $q=0$).

Une formule de trigonométrie donne $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ donc $\displaystyle{\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x))}$.

Donc $\displaystyle{I = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2x)){\rm d}x = \frac{\pi}{4}}$.

• Si les puissances $p$ et $q$ sont élevées alors on linéarise à l'aide des formules d'Euler :

\[\displaystyle{\cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})}\text{ et }\displaystyle{\sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})}.\]

5) Primitive de fractions rationnelles en $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

Il s'agit d'un quotient de deux polynômes trigonométriques.

La méthode appelée règle de Bioche repose sur un changement de variable. Notons $f$ la fonction à intégrer.

a) Lorsque l'expression à intégrer est impaire c'est-à-dire $f(-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$. Comme $dy = -\sin(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$.

Exemple : calculer $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x}$. La fonction $\displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ est impaire. Pour faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sin(x)$.

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = \int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x}\\ \displaystyle{A(x)= \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}{\rm d}x}\\ \displaystyle{A(x)= \int \frac{\sin(x)}{1-\cos^2(x)}{\rm d}x}.\end{array}\]

On fait le changement de variable $y=\cos(x)$.

\[\displaystyle{A(x) = -\int \frac{1}{1-y^2}{\rm d}y}.\]

La fonction $\displaystyle{\frac{1}{1-y^2}}$ est une fraction rationnelle. Elle se décompose en éléments simples (DES) :

\[\displaystyle{\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1+y}\right)}.\]

Donc :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-y}{\rm d}y - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+y}{\rm d}y}\\ \displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln|1-y| - \frac{1}{2} \ln|1+y|}\\ \displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-y}{1+y}\right|}..\end{array}\]

En revenant à la variable initiale :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right|}\\ \displaystyle{A(x)= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}\right|}\\ \displaystyle{A(x)= \ln|\tan(x/2)|}.\end{array}\]

b) Lorsque l'expression à intégrer vérifie $f(\pi-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\sin(x)$. Comme $dy = \cos(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\cos(x)dx$.

c) Lorsque l'expression à intégrer est $\pi$-périodique c'est-à-dire $f(x+\pi)=f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\tan(x)$. Comme $dy = (1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$, il faut donc faire apparaître la quantité $(1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$.

d) Si l'une des trois règles ci-dessus ne s'applique pas alors on effectue le changement de variable $t = \tan(x/2)$. Ce changement de variable transforme la fonction à intégrer en une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules de trigonométrie :

\[\displaystyle{\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}},\\ \displaystyle{\cos(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}}
\\ \text{et} \\ \displaystyle{\sin(x) =\frac{2t}{1+t^2}}.\]