Niveau 2

1) Maximums, minimums locaux, globaux

Soit $f(x_1,\ldots,x_n)$ une fonction de $n$ variables. On dit que $f$ admet un minimum local en $a=(a_1,\ldots,a_n)$ s'il existe un voisinage (= une petite région autour de $a$) $V$ de $a$ telle que pour tout
$(x_1,\ldots,x_n) \in \rm V$ :

\[f(x_1,\ldots,x_n) \ge f(a_1,\ldots,a_n)\]

De même, on dit que $f$ admet un maximum local en $a=(a_1,\ldots,a_n)$ s'il existe un voisinage $\rm V$ de $a$ telle que pour tout $(x_1,\ldots,x_n) \in \rm V$ :

\[f(x_1,\ldots,x_n) \le f(a_1,\ldots,a_n)\]

On dit que $f$ admet un minimum global si pour tout
$(x_1,\ldots,x_n) \in {\Bbb R}^n$ :

\[f(x_1,\ldots,x_n) \ge f(a_1,\ldots,a_n)\]

De même, on dit que $f$ admet un maximum global si pour tout
$(x_1,\ldots,x_n) \in {\Bbb R}^n$ :

\[f(x_1,\ldots,x_n) \le f(a_1,\ldots,a_n)\]

On dit que $f$ admet un extremum local (respectivement global) si $f$ admet un minimum ou un maximum local (respectivement global).

Remarque : un extremum global est aussi local !

Un problème courant en science est de chercher à optimiser un processus. Cela conduit à minimiser ou maximiser une fonction de plusieurs variables c'est-à-dire à chercher ses extrema. 

2) Premier exemple

Considérons la fonction de deux variables :

\[f(x,y) = x^2+y^2-x-y\]

On peut voir $x^2-x$ comme le début de l'identité remarquable $(x-1/2)^2$. Plus précisément, on a :

\[x^2-x = (x-1/2)^2 - 1/4\]

De même :

\[y^2-y = (y-1/2)^2 - 1/4\]

Ainsi :

\[f(x,y) = (x-1/2)^2 - 1/4 + (y-1/2)^2 - 1/4 \\f(x,y)= (x-1/2)^2+ (y-1/2)^2 -1/2\]

Comme un carré est toujours positif, on a :

$f(x,y) \ge -1/2$ pour tout $(x,y) \in {\Bbb R}^2$

De plus, $f(1/2,1/2) = -1/2$ donc pour tout $(x,y) \in {\Bbb R}^2$, $f(x,y) \ge f(1/2,1/2)$. On a donc prouvé que $f$ admet un minimum global au point de coordonnées $(1/2,1/2)$ et que ce minimum vaut $-1/2$. 

3) Point critique

Considérons une fonction de plusieurs variables $f(x_1,\ldots,x_n)$ . On dit que $a=(a_1,\ldots,a_n)$ est un point critique de $f$ si toutes les dérivées partielles de $f$ s'annulent en $a$ autrement dit :

\[\displaystyle{\forall i=1,\ldots,n, \frac{\partial}{\partial x_i} f(a) = 0}\]

Théorème : soit $f$ une fonction admettant des dérivées partielles continues sur ${\Bbb R}^n$ (ou plus généralement sur un ouvert de ${\Bbb R}^n$ - un ouvert de ${\Bbb R}^n$ est une partie de ${\Bbb R}^n$ qui n'a pas de frontière).
Si $f$ admet un extremum local en $a$ alors $a$ est un point critique. 

Remarque importante : la réciproque est fausse ! Prenons par exemple $f(x,y)=xy$. Cette fonction admet les dérivées partielles :

\[\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = y}\text{ et }\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = x}\]

$a=(\alpha,\beta)$ est un point critique si et seulement si par définition $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} (\alpha,\beta) =0}$ et $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y} (\alpha,\beta) = 0}$ si et seulement si $(\alpha,\beta) = (0,0)$ 

Donc $f$ admet un unique point critique sur ${\Bbb R}^2$ qui est $(0,0)$. 

Or $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$. En effet, choisissons $x=y$ dans $f(x,y)$. On a donc $f(x,y) = f(x,x)= x^2 \ge 0$ puis choisissons $x=-y$ dans $f(x,y)$. On a donc $f(x,y) = f(x,-x)= -x^2 \le 0$. Ainsi au voisinage de $(0,0)$, $f$ n'a pas un signe constant c'est-à-dire n'est pas toujours plus grande que $f(0,0)=0$ ou plus petite que $f(0,0)=0$.

On dit que $(0,0)$ est un point selle par référence à la selle d'un cheval qui serait la représentation géométrique de $f(x,y)=xy$. Le point $(0,0)$ est au creux de la selle. Lorsqu'on suit le parcours des jambes du cavalier, on est en dessous de ce point. Mais lorsqu'on suit le parcours du dos de cheval on est au-dessus ce point.

4) Méthode pour chercher les extrema d'une fonction $f$ de plusieurs variables

a) On cherche tout d'abord les points critiques de $f$

b) Parmi les points critiques $a$, il faut décider s'ils correspondent à des extremums ou pas. Pour cela il faut étudier le signe de la différence $f(x_1,\ldots,x_n) - f(a)$ et examiner si cette différence est toujours positive ou toujours négative (autrement dit garde un signe constant) au voisinage de $(0,0)$. 

On fait un changement de variables pour se ramener en $0$. On pose pour tout $i=1.\ldots,n$, $h_i = x_i-a_i$. Lorsque $x=(x_1,\ldots,x_n)$ est proche de $a=(a_1,\ldots,a_n)$ ce la revient à dire que $h=(h_1,\ldots,h_n)$ est proche de $0$. 

On étudie alors le signe de :

$f(x_1,\ldots,x_n) - f(a) = f(a_1+h_1,\ldots,a_n+h_n) - f(a)$ au voisinage de $0$.

5) Utilisation des dérivées secondes.

Pour le b), on peut parfois utiliser la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$. Elle nous dit par exemple pour une fonction de deux variables qu'au voisinage de $a=(\alpha,\beta)$, 

\[\displaystyle f(\alpha+h,\beta+k) \approx f(\alpha,\beta) + \frac{\partial f}{\partial x} (\alpha,\beta)h \\ \displaystyle + \frac{\partial f}{\partial y} (\alpha,\beta)k + \frac{\partial f}{\partial x^2} (\alpha,\beta)h^2 \\ \displaystyle + 2\frac{\partial f}{\partial xy} (\alpha,\beta)hk +\frac{\partial f}{\partial y^2} (\alpha,\beta)k^2\]

Si $a=(\alpha,\beta)$ est un point critique alors en posant $\displaystyle{r = \frac{\partial f}{\partial x^2} (\alpha,\beta)}$, $\displaystyle{s=\frac{\partial f}{\partial xy} (\alpha,\beta)}$ et $\displaystyle{t = \frac{\partial f}{\partial y^2} (\alpha,\beta)}$, on a :

\[f(x,y) - f(\alpha,\beta) = f(\alpha+h,\beta+k) - f(\alpha,\beta) \approx rh^2 +2shk + tk^2\]

On admet alors que le signe local (c'est-à-dire quand $h$ et $k$ sont proches de $0$ ou ce qui revient à dire quand le point $(x,y)$ est proche de $a=(\alpha,\beta)$) est le signe de la fonction $(h,k) \mapsto rh^2 +2shk + tk^2$. Cette application s'appelle une forme quadratique. 

6) Exemple

On considère la fonction $f(x,y) = x^2+(x+y-1)^2+y^2$. Déterminer ses extrema locaux et globaux sur tout ${\Bbb R}^2$.

On a :

\[\begin{array}{lcl}\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x+2(x+y-1) = 4x+2y-2}\\ \text{ et }\\ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 2(x+y-1)+2y = 2x+4y-2}.\end{array}\]

$(x,y)$ est un point critique $\iff \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=0}$ et $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=0}$ ce qui donne le système d'équations (après simplification par le facteur $2$) :

\[2x+y=1\text{ et }x+2y=1.\]

On trouve un seul point critique le point :

\[\displaystyle{a=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)}\]

Posons $h=x-1/3$ et $k=y-1/3$. Lorsque $(x,y)$ est proche de $a$ alors $(h,k)$ est proche de $(0,0)$.
Après calcul on a :

\[f(x,y)-f(a) = f(h+1/3,k+1/3) - f(1/3,1/3) = 2h^2+2k^2+ 2hk\]

On peut écrire la différence :

\[\begin{array}{lll}f(x,y)-f(a) = f(h+1/3,k+1/3) - f(1/3,1/3) \\f(x,y)-f(a) = h^2+k^2+ h^2+k^2+ 2hk \\f(x,y)-f(a) = h^2+k^2 + (h+k)^2\end{array}\]

On en déduit que pour tout $(h,k) \in {\Bbb R}^2$ :

\[f(h+1/3,k+1/3) - f(1/3,1/3) \ge 0\]

Ce qui revient à dire que pour tout $(x,y) \in {\Bbb R}^2$, $f(x,y) \ge f(1/3,1/3)$. On en déduit que $f$ admet un minimum global en $(1/3,1/3)$ et ce minimum vaut :

\[f(1/3,1/3) = 1/3\]

Définition :

La transformée de Laplace de la fonction $f$ est la fonction $\mathrm{F=\mathcal{L}}f$ de la variable complexe $\mathrm{p}$ définie par :

\[\mathrm{F(p)=\mathcal{L}}f\mathrm{(p) = \int_0^{+\infty}}f\mathrm{(t)e^{-pt}dt}\]

Remarque :

Pour que $\mathrm{F}$ existe, il faut que l'intégrale généralisée $\displaystyle\mathrm{\int_0^{+\infty}}f\mathrm{(t)e^{-pt}dt}$ converge.

Notation :

Parfois on note la transformée de Laplace $\mathcal{L}[f(t)]$.

Transformée de Laplace des fonctions usuelles :

• Échelon unité : $\mathrm{t \mapsto U(t)}$ définie par $\mathrm{U(t) = 0}$ si $\mathrm{t<0}$ et $\mathrm{U(t)=1}$ si $\mathrm{\mathrm{t \geq 0}}$. Alors $\mathrm{\mathcal{L}[U(t)] = \frac{1}{p}}$
• Rampe : $\mathrm{r:t \mapsto tU(t)}$ c'est-à-dire $\mathrm{r(t)=0}$ si $\mathrm{t<0}$ et $\mathrm{r(t)=t}$ si $\mathrm{t \geq 0}$. Alors $\mathrm{\mathcal{L}[tU(t)] = \frac{1}{p^2}}$
• Monôme : $\mathrm{\mathcal{L}[t^nU(t)] = \frac{n!}{p^{n+1}}}$. 
• Exponentielle  : Soit $\mathrm{a}$ un réel. pour tout complexe $\mathrm{p}$ tel que $\mathrm{\Re(p)>a}$, on a $\mathrm{\mathcal{L}[e^{at}U(t)] = \frac{1}{p-a}}$ 
• Cosinus : Soit $\omega$ un réel. $\displaystyle \mathrm{\mathcal{L}[\cos(\omega t])U(t) = \frac{p}{p^2+\omega^2}}$
• Sinus : Soit $\omega$ un réel. $\displaystyle \mathrm{\mathcal{L}[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t])U(t) = \frac{1}{p^2+\omega^2}}$
  

1) Notion d'intégrale généralisée

a) Définition et exemples

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b[$ (avec éventuellement $b$ un nombre fini ou égal à $+\infty$). 

On dit que l'intégrale $\displaystyle{\int_a^{b}f(t){\rm d}}t$ converge si la limite de $\displaystyle{\int_a^{\epsilon}f(t){\rm d}t}$ existe lorsque $\epsilon$ tend vers $b^-$.

Dans ce cas, on note $\displaystyle{\int_a^{b}f(t){\rm d}t = \lim_{\epsilon \rightarrow b^-}\int_a^{\epsilon}f(t){\rm d}t}$.

Exemple :

$\displaystyle{\int_0^{1}\frac{1}{t}{\rm d} t}$ diverge. La fonction $1/t$ qu'on intègre est définie et continue sur $]0,1]$. Il y a donc un problème en $0$. 

Soit un réel $\epsilon$ tel que $\epsilon >0$.
Alors $\displaystyle{\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{t}{\rm d} t = \left[\ln(t)\right]_{\epsilon}^{1} = -\ln(\epsilon)}$.
Or $\displaystyle{\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} -\ln(\epsilon) = +\infty}$.
Donc l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{1}\frac{1}{t}{\rm d} t}$ diverge.

Exemple :

$\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}{\rm d} t}$ converge.

En effet, soit un réel $\epsilon$ tel que $\epsilon \ge 1$.
Alors $\displaystyle{\int_1^{\epsilon}\frac{1}{t^2}{\rm d} t = \left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\epsilon} = -\frac{1}{\epsilon}+1 }$.
Or $\displaystyle{\lim_{\epsilon \rightarrow +\infty} -\frac{1}{\epsilon}+1 = 1}$.
Donc l'intégrale $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}{\rm d} t}$ converge et $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2}{\rm d} t} = 1$.

b) Intégrales de référence

Théorème. Intégrale de Riemann. Soit $\alpha$ un réel. 

L'intégrale $\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}{\rm d} t}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

L'intégrale $\displaystyle{\int_0^{1}\frac{1}{t^{\alpha}}{\rm d} t}$ converge si et seulement si $\alpha<1$.

Si $a<0$ alors l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{+\infty}e^{-at}{\rm d} t}$ converge.

2) Intégration par parties (IPP)

Attention :

Il ne faut pas faire d'IPP dans une intégrale généralisée mais uniquement dans des intégrales classiques c'est-à-dire lorsque la fonction à intégrer est définie et continue sur un segment $[a,b]$

a) Formules

Formule d'IPP pour une primitive :

\[\displaystyle{\int u'(x)v(x){\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x}.\]

Formule d'IPP pour une intégrale :

\[\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x}.\]

Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif.

b) Exemples

Calculons une primitive de $f(x) = xe^{-x}$. On choisit $u'(x)=e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = -e^{-x}$ et $v'(x)=1$. 

La formule d'IPP donne :

\[\begin{array}{lll}\displaystyle{F(x) = \int xe^{-x}{\rm d}x} \\ \displaystyle{F(x)= u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x} \\ \displaystyle{F(x)= -e^{-x}x - \int -e^{-x}{\rm d}x}\end{array}\]

\[\displaystyle{F(x) = -xe^{-x} + \int e^{-x}{\rm d}x = -xe^{-x} -e^{-x} = -(x+1)e^{-x}.}\] 

Remarque :

On peut vérifier le résultat en dérivant $F$. On trouve bien $F'=f$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

Calculons l'intégrale $\displaystyle{I = \int_1^e \ln(x){\rm d}x}$. 

On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$.
D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a :

\[\begin{array}{lll}\displaystyle{I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^ex \frac{1}{x}{\rm d}x} \\ I = \displaystyle{e\ln(e)-1\ln(1) - \int_1^e 1 {\rm d}x}\\ I = \displaystyle{e - (e-1) = 1}.\end{array}\]

3)

a) La formule de changement de variable.

Le but est de réécrire l'intégrale sous une autre forme de façon à ce que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer.

La méthode est la suivante. 

• 1ère étape : On définit $u = \varphi(t)$, $t$ étant l'ancienne variable d'intégration et $u$ la nouvelle. 
• 2ème étape : On dérive l'égalité précédente pour obtenir : ${\rm d}u = \varphi'(t) {\rm d}t$ et on exprime ${\rm d}t$ en fonction de $u$ et ${\rm d}u$.
• 3ème étape : On réécrit l'intégrale en fonction uniquement de la nouvelle variable $u$ et on change les bornes dans le cas d'une intégrale (ou on revient à la variable initial dans le cas d'une primitive).

b) Exemples

On veut calculer $\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t}$. On ne voit pas de primitive de la fonction à intégrer. 

• 1ère étape : On décide de poser $u=e^{2t}$.
• 2ème étape : On a alors ${\rm d}u = 2e^{2t} {\rm d}t$ (car $(e^{2t})' = 2e^{2t}$). Donc $\displaystyle{{\rm d}t = \frac{{\rm d}u}{2e^{2t}} = \frac{1}{2u}{\rm d}u}$ car $e^{2t}=u$. 
• 3ème étape : Lorsque $t = 0$ alors $u=e^{2\times 0} =1$. Lorsque $t=1$ alors $u = e^{2\times 1}=e^2$. 

L'intégrale s'écrit :

\[\begin{array}{lll}\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t}\\ \displaystyle{I = \int_1^{e^2} \frac{u^2}{u+1}\frac{1}{2u}{\rm d}u}\\\displaystyle{I = \frac{1}{2} \int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u}.\end{array}\]

Pour calculer l'intégrale, on décompose la fraction : 

\[\displaystyle{\frac{u}{1+u} = \frac{1+u-1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u}}\]

On a alors :

\[\begin{array}{lll}\displaystyle{\int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u}\\ \displaystyle{= \int_1^e 1 {\rm d}u - \int_1^{e^2} \frac{1}{1+u}{\rm d}u} \\ \displaystyle{= [u]_1^{e^2} - [\ln(1+u)]_1^{e^2}} \\ \displaystyle{= e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)}.\end{array}\]

Donc :

\[\displaystyle{I = \frac{1}{2}\left(e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)\right)}.\]

c)

Il est possible de faire des changement de variable dans une intégrale généralisée à condition que la fonction $\varphi$ de changement de variable respecte certaines condition : elle doit être dérivable et sa dérivée doit être continue (on dit que $\varphi$ est de classe $C^1$), $\varphi$ soit être strictement monotone et bijective. Dans ce cas, après changement de variable, la nouvelle intégrale est de même nature que la première c'est-à-dire si l'une converge l'autre converge, si l'une diverge l'autre diverge.

4) Primitive de polynômes trigonométriques. Il s'agit de somme d'expression du type $\cos^{p}(x)\sin^{q}(x)$ avec $p$ et $q$ des entiers naturels

Plusieurs cas sont à envisager.

• 1er cas : si ($q$ est impair et $p$ quelconque) alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$.
  

Exemple :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) \sin^3(x){\rm d}x}\\ \displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) \sin^2(x)\sin(x){\rm d}x}\\ \displaystyle{A(x) = \int \cos^2(x) (1-\cos^2(x)) \sin(x){\rm d}x}.\end{array}\]

Posons :

\[y = \cos(x)$. Alors $d y = -\sin(x) d x.\]

On a donc :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(y) = - \int y^2 (1-y^2) {\rm d}y}\\ \displaystyle{A(y) = -\int (y^2 - y^4){\rm d}y}\\ \displaystyle{A(y) = - \frac{y^3}{3} + \frac{y^5}{5}}\\ \displaystyle{A(y) =- \frac{\cos^3(x)}{3} + \frac{\cos^5(x)}{5}.}\end{array}\]

Remarque :

Lorsqu'on fait un changement de variable dans une primitive, ne pas oublier de revenir à la variable initiale. Ici, il faut revenir en $x$ c'est-à-dire remplacer $y$ par $\cos(x)$.

• 2ème cas : si ($p$ est impair et $q$ quelconque). C'est le même principe mais ici on fait le changement de variable $y=\sin(x)$.
• 3ème cas : si $p$ et $q$ sont pairs, il faut linéariser l'expression $\cos^p(x)\sin^q(x)$.

Pour linéariser :

• Soit on utilise des formules de trigonométrie si les puissances ne sont pas trop élevées. 
  

Exemple.

Calculer :

\[\displaystyle{I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(x){\rm d}x}\text{ (ici }p=2\text{ et }q=0).\] 

Une formule de trigonométrie donne $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ donc $\displaystyle{\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x))}$. 

Donc $\displaystyle{I = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2x)){\rm d}x = \frac{\pi}{4}}$.

• Si les puissances $p$ et $q$ sont élevées alors on linéarise à l'aide des formules d'Euler :

\[\displaystyle{\cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})}\text{ et }\displaystyle{\sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})}.\] 

5) Primitive de fractions rationnelles en $\cos(x)$ et $\sin(x)$. Il s'agit d'un quotient de deux polynômes trigonométriques. 

La méthode appelé règle de Bioche repose sur un changement de variable. Notons $f$ la fonction à intégrer.

a)

Lorsque l'expression à intégrer est impaire c'est-à-dire $f(-t)=-f(t)$ alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$. Comme $dy = -\sin(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$.

Exemple :

Calculer $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x}$. La fonction $\displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ est impaire. Pour faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sin(x)$. 

\[\displaystyle{A(x) = \int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x = \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}{\rm d}x = \int \frac{\sin(x)}{1-\cos^2(x)}{\rm d}x}.\]

On fait le changement de variable $y=\cos(x)$.

\[\displaystyle{A(x) = -\int \frac{1}{1-y^2}{\rm d}y}.\]

La fonction $\displaystyle{\frac{1}{1-y^2}}$ est une fraction rationnelle. Elle se décompose en éléments simples (DES) : 

\[\displaystyle{\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1+y}\right)}.\]

Donc :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-y}{\rm d}y - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+y}{\rm d}y}\\ \displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln|1-y| - \frac{1}{2} \ln|1+y|}\\ \displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-y}{1+y}\right|}.\end{array}\]

En revenant à la variable initiale :

\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right|}\\ \displaystyle{A(x)= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}\right|}\\ \displaystyle{A(x)= \ln|\tan(x/2)|}.\end{array}\]

b)

Lorsque l'expression à intégrer est vérifie $f(\pi-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\sin(x)$. Comme $dy = \cos(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\cos(x)dx$.

c)

Lorsque l'expression à intégrer est $\pi$-périodique c'est-à-dire $f(t+\pi)=f(t)$ alors on fait le changement de variable $y=\tan(x)$. Comme $dy = (1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$, il faut donc faire apparaître la quantité $(1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$.

d)

Si l'une des trois règles ci-dessus ne s'applique pas alors on effectue le changement de variable $t = \tan(x/2)$. Ce changement de variable transforme la fonction à intégrer en une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules de trigonométrie : 

\[\displaystyle{\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}}, \displaystyle{\cos(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}}\text{ et }\displaystyle{\sin(x) =\frac{2t}{1+t^2}}.\]

Addition et soustraction de matrices

Pour additionner (ou soustraire) deux matrices de même dimension, on additionne (ou soustrait) les coefficients de même position.

Multiplication par un réel

Pour multiplier une matrice par un réel, on multiplie chaque coefficient par ce réel.

Multiplications de deux matrices

Exemple avec des matrices d’ordre $2$ :

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$ $\times$ $\begin{equation*} \begin{bmatrix} a’ & b’ \\ c’ & d’ \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$ $= \begin{equation*} \begin{bmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$

Avec $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.

Inverse d’une matrice

Si elle existe, la matrice inverse d’une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est la matrice notée $\rm A^{-1}$ telle que $\rm A\times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$ la matrice identité composée de $1$ sur la diagonale et de $0$ sinon.

Définition d’une matrice

Une matrice $\mathrm{A}$ de dimensions $m \times n$ est un tableau de nombres à $m$ lignes et à $n$ colonnes. On la représente avec ses $m \times n$ coefficients réels $(a_{i,j})$ $(i \in \{1 ; ... ; m\}$ et $j \in \{1 ; ... ; n\})$ :

Pour tout $i \in \{1 ; ... ; m\}$ et $j\in\{1 ; ... ; n\}$, le coefficient $a_{i,j}$ est le nombre positionné sur la $\mathrm{i^{ième}}$ ligne et de la $\mathrm{j^{ième}}$ colonne.

• Si $m = n$, la matrice est carrée d’ordre $n$.
• Si $m = 1$, la matrice est une matrice ligne.
• Si $n = 1$, la matrice est une matrice colonne.

Exemple :

$A = \begin{equation*} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$ est une matrice carré d’ordre $2$.

Egalité de deux matrices

Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont les mêmes dimensions $m \times n$ et leurs coefficients de même position sont égaux.