Métrologie

1. Vocabulaire
   

MESURAGE : ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement une ou plusieurs valeurs d'une grandeur.

MESURANDE : grandeur que l’on veut mesurer.

VALEUR VRAIE : valeur du mesurande que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait.

GRANDEUR d’influence : grandeur qui a un effet sur le résultat du mesurage.

ERREUR : un mesurage n’étant jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure (différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie).

INCERTITUDE : intervalle définissant l’ensemble de valeurs attribuées à un mesurande.

2. Incertitude par majoration

Le mesurande y est obtenu à partir des grandeurs d’entrée $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$ par calcul d’une fonction mathématique $y = f(x_1, x_2, x_3, \cdots)$. On détermine l’erreur maximale possible sur le mesurande $\Delta y$ en attribuant `a chaque grandeur d’entrée une erreur maximale possible $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3, \cdots$ (demi- graduation).

Méthode directe

Calcul d’une petite variation de la grandeur de sortie résultant de petites variations des grandeurs d’entrée :

$$\displaystyle \partial y = \frac{\partial f}{\partial x_1} \partial x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\partial x_2 + … $$

Puis par majoration physique :

$$\displaystyle \Delta y = \left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right| \Delta x_1 + \left|\frac{\partial f}{\partial x_2}\right| \Delta x_2 + … $$

Méthode de la différentielle logarithmique (utile dans le cas produit ou fraction)

Pour $\displaystyle y = \frac{x_1x_2x_3…}{z_1z_2z_3}$, alors

$$\ln y = \ln x_1 + \ln x_2 + … − \ln z_1 − \ln z_2 − … $$

Puis par différenciation :

$$\displaystyle \frac{\partial y}{y} = \frac{\partial x_1}{x_1} + \frac{\partial x_2}{x_2} + … − \frac{\partial z_1}{z_1} − \frac{\partial z_2}{z_2} −… $$

Et par majoration physique :

$$\displaystyle \frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta x_1}{|x_1|} + \frac{\Delta x_2}{|x_2|} + … + \frac{\Delta z_1}{|z_1|} + \frac{\Delta z_2}{|z_2|} + … $$

L'incertitude obtenue par majoration envisage le cas le plus défavorable. L'incertitude statistique fait intervenir la notion de probabilité et donne une valeur plus réaliste quant à la variabilité du mesurande. L'INCERTITUDE-TYPE est l'incertitude exprimée sous la forme d'un écart-type. Le schéma d'évaluation est le suivant.

1. Modéliser le processus de mesure

Définir les grandeurs d'entrée, $\rm X, Y, Z,…$ et exprimer le mesurande de sortie $\rm G$ par calcul d'une fonction mathématique $\mathrm G = f(\rm X, Y, Z,…)$.

2. Evaluer les incertitudes-type individuelles sur chaque grandeur d'entrée $\bf{X, Y, Z, …}$ 

• Evaluation de type $\rm A$ : réalisée par analyse statistique de séries d'observations $x_i$, de la grandeur $\rm X$ (on suppose les $\rm N$ observations indépendantes) :

$$\displaystyle u_\rm A(X) = \frac{s_X}{\sqrt{N}}$$

Avec :

$$\displaystyle \mathrm{s_X} = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \overline x)^2}{\rm N-1}} \text{ (écart-type expérimental)}$$

$$\displaystyle \overline x = \frac{\sum x_i}{\rm N} \text{ (moyenne expérimental)}$$

• Evaluation de type $\rm B$ : effectuée par jugement à partir des informations disponibles sur la grandeur $\rm X$. Attribuer à la variable aléatoire $\rm X$ une loi de probabilité, alors l'incertitude-type $u_\rm B(X)$ est l'écart-type de cette loi.

• Evaluation composée : chaque grandeur peut avoir plusieurs sources d'incertitudes, on calcule alors l'incertitude composée résultante :

$$\displaystyle u_\mathrm c(\mathrm X) = \sqrt{u_\mathrm A(\mathrm X)^2 + u_\mathrm B (\mathrm X)^2 +…}$$

3. Calculer l'incertitude-type composée

$$\displaystyle u_\mathrm c(\mathrm G) = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}u_\mathrm c(\mathrm X)\right)^2 +\left(\frac{\partial f}{\partial y}u_\mathrm c(\mathrm Y)\right) + …}$$