L'étude d'un phénomène est souvent schématisé sous la forme :
$$\mathrm{Y = f(X_1,X_2,\ldots,X_n)}$$
Avec $\mathrm{Y}$ la réponse qui dépend des variables $\mathrm{X_1,X_2,\ldots,X_n}$ appelées facteurs. La modélisation mathématique consiste à chercher la fonction $f$.Une méthode classique d'étude consiste en la mesure de la réponse $\mathrm{Y}$ pour plusieurs valeurs de la variable $\mathrm{Xi}$ tout en laissant fixe la valeur des $\mathrm{(n - 1)}$ autres variables. On itère alors cette méthode pour chacune des variables. Ainsi, par exemple, si nous avons 4 variables et si l'on décide de donner 5 valeurs expérimentales à chacune d'elles, nous sommes conduit à effectuer $54 = 625$ expériences. Ce nombre élevé dépasse les limites de faisabilité tant en temps qu'en coût. Il faut donc réduire le nombre d'expériences à effectuer sans pour autant perdre sur la qualité des résultats recherchés. L'utilisation d'un "plan d'expérience" donne alors une stratégie dans le choix des méthodes d'expérimentation.
Plan $\mathrm{\textbf 2^k}$.
Les résultats des expériences lorsqu'on fait varier les facteurs sont représentés dans une matrice :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X_1 & X_2 & \ldots & X_n & Y \\\hline \hline x_{1,1} & x_{1,2} & \ldots & x_{1,n} & Y_1 \\\hline x_{2,1} & x_{2,2} & \ldots & x_{2,n} & Y_2 \\\hline \vdots&\vdots & & \vdots & \vdots\\\hline x_{n,1} & x_{n,2} & \ldots & x_{n,n} & Y_n \\\hline\end{array}$$
On quantifie les facteurs en un niveau haut $+1$ et un niveau bas $-1$.
Matrice d'expériences
La matrice d'expériences est le tableau qui indique le nombre d'expériences à réaliser avec la façon de faire varier les facteurs et l'ordre dans lequel il faut réaliser les expériences. Ce tableau est donc composé de $+1$ et de $-1$. Soit, par exemple, la matrice d'expériences suivante :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\mbox{Expérience} & X_1 & X_2 \\ \hline\hline 1 & -1 & -1 \\ \hline 2 & +1 & -1 \\ \hline 3 & -1 & +1 \\ \hline 4 & +1 & +1 \\ \hline \end{array}$$
L'effet global et effet moyen d'un facteur
Supposons qu'il n'y ait qu'un seul facteur $\mathrm{X_1}$ à deux niveaux. Notons $\mathrm{Y_2}$ la réponse (résultat de l'expérience) lorsque $\mathrm{X_1}$ est au niveau +1 et $\mathrm{Y_1}$ la réponse lorsque $\mathrm{X_1}$ est au niveau -1. La matrice d'expérience et des réponses est :
$$\mathrm{\begin{array}{|c|c|c|}\hline\mbox{Expérience} & X_1 & \mbox{Réponse Y} \\ \hline \hline 1 & -1 & y_1 \\ \hline 2 & +1 & y_2 \\ \hline \end{array}}$$
Cas d'un facteur
L'effet global d'un facteur (sous-entendu : sur la réponse) est la variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1.
Soit $$\mathrm{\mbox{Effet global de }X_1 = y_2-y_1}$$
L'effet moyen d'un facteur (sous-entendu : sur la réponse) la demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. Ainsi, l'effet moyen est défini comme étant la moitié de l'effet global.
Soit $$\mathrm{mbox{Effet moyen de } a_1 = \frac{y_2-y_1}{2}}$$
La réponse théorique au centre du domaine d'expérience est la moyenne des réponses :
$$\mathrm{a_0=\frac{y_2+y_1}{2}}$$
Cas de deux facteurs
Supposons que nous ayons maintenant 2 facteurs $\mathrm{X_1}$ et $\mathrm{X_2}$ avec chacun deux niveaux (plan $\mathrm{2^2}$). Une matrice d'expérience et des réponses est, par exemple :
$$\mathrm{\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox{Expérience} & X_1 & X_2 \\ \hline \hline 1 & -1 & -1 \\ \hline 2 & +1 & -1 \\\hline 3 & -1 & +1 \\ \hline 4 & +1 & +1 \\ \hline \end{array}}$$
L'effet moyen de $\mathrm{X_1}$ est toujours la demi-variation de la réponse lorsque $\mathrm{X_1}$ passe du niveau $-1$ au niveau $+1$. Or, pour chacun des niveaux de $\mathrm{X_1}$, il y a 2 expériences (une pour chacun des niveaux de $\mathrm{X_2}$). Nous devons alors envisager des réponses moyennes.
Quand $\mathrm{X_1}$ est au niveau $-1$, nous avons la réponse moyenne : $$\mathrm{\frac{y_1+y_3}{2}}$$ et quand $\mathrm{X_1}$ est au niveau $+1$, nous avons la réponse moyenne : $$\mathrm{\frac{y_2+y_4}{2}}$$
L'effet global $\mathrm{a_1}$ de $\mathrm{X_1}$ donne : $$\mathrm{a_1 = \frac{\frac{y_2+y_4}{2} - \frac{y_1+y_3}{2}}{4} = \frac{-y_1+y_2-y_3+y_4}{4}}$$
De la même manière, l'effet moyen $a_2$ de $X_2$ se calcule de la même manière : $$\mathrm{a_2=\frac{-y_1-y_2+y_3+y_4}{4}}$$
La réponse théorique est $$\mathrm{a_0 = \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}}$$
Plan utilisant l'algorithme de Yates
On généralise ce qui précède. On s'intéresse toujours à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier degré de la forme :
$$\mathrm{Y = a_0 + a_1 X1 + ... + a_k X_k}$$
On construit la matrice $\mathrm{X}$ des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1. Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égal à la somme algébrique des réponses expérimentales $\mathrm{y_i}$ affectés des signes de la colonne de la matrice $\mathrm{X}$ correspondant au facteur $\mathrm{X_i}$ divisé par le nombre d'expériences.
Exemple avec un plan $\mathrm{\textbf 2^2}$ :
$$\mathrm{\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \mbox{Expérience} & \mbox{Moy} &X_1 & X_2 & \mbox{Réponse }Y \\ \hline \hline 1 & +1 &-1 & -1 & y_1 \\ \hline 2 & +1 &+1 & -1 & y_2 \\ \hline 3 & +1 &-1 & +1 & y_3 \\ \hline 4 & +1 &+1 & +1 & y_4 \\ \hline \mbox{Diviseur} & 4 & 4 & 4 &\\ \hline \end{array}}$$
En appliquant la règle énoncée ci dessus, on obtient : $$\mathrm{a_0 = \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}}$$ $$\mathrm{a_1 = \frac{-y_1+y_2-y_3+y_4}{4}}$$ $$\mathrm{a_2 = \frac{-y_1-y_2+y_3+y_4}{4}}$$
