Probabilités discrètes et continues

Loi binomiale

Soit $E$ une épreuve de Bernoulli et $p$ la probabilité du succès.

On répète $n$ fois, de manière indépendante, l'épreuve $E$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre 0 et $n$).

On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $B(n ; p)$). 

Pour tout $k \in [0 ; n]$, on a :

\[\begin{array}{ll}P(X = k) = (_{k}^{n}){p}^{k}{q}^{n - k}\\
E(X) = np\\
V(X) = npq\text{ où }q = 1 - p\\
\displaystyle\sigma(X) = \sqrt{n p q}\end{array}\]

Loi de Poisson

Pour Y une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ > 0, on a :

$P(Y = k) = \frac{{\lambda}^k}{k !} e^{-\lambda}$ pour tout $k$ entier naturel.

L'espérance de cette variable aléatoire $Y$ est $E(Y) = \lambda$, sa variance $V(Y) = \lambda$ et son écart-type $\sigma = \sqrt{\lambda}$.

Loi exponentielle

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est définie par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

Pour tout $t > 0$, la probabilité de l'événement $(X \leq t)$ est donnée par $P(X \leq t) = \int_0^{t} \lambda e^{-\lambda x} dx$.

L'espérance de cette variable aléatoire $X$ est $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, sa variance $V(X) = \frac{1}{{\lambda}^2}$ et son écart-type $\sigma =\frac{1}{\lambda}$.

Loi normale

La variable $X$ suit la loi normale $N(\mu ; {\sigma}^2)$ si la variable aléatoire $\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi centrée réduite $N(0 ; 1)$.

Propriétés :

Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $N(\mu ; {\sigma}^2)$ : 

• $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$ au centième près. 
• $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ au centième près. 
• $P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ au millième près.