Mathématiques

Propriétés algébriques des fonctions logarithmes

$\ln(1) = 0$

Pour tout $a$ et $b$ réels strictement positifs, et $n \in \mathbb{N}$ : 

$\ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$
$\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n \ln(a)$ 

Ces propriétés sont valables pour la fonction log aussi.

Pour $a = 10$, $\log(10^n) = n\log(10) = n$ car $\log(10) = 1$. 

Propriétés algébriques des fonctions exponentielles

$e^0 = 1$

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$.

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ;
$e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$ ;
$e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ;
${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier naturel).

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$10^{a} = b \Leftrightarrow a = \log(b)$.

Les propriétés algébriques sont vraies pour la fonction exponentielle de base $10$.

Fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus sont définies, continues et dérivables sur $\mathbb{R}$.

Elles sont périodiques de période 2$\pi$ et leur représentation graphique est une sinusoïde de période 2$\pi$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos'(x) = -sin(x)$ et $\sin'(x) = \cos(x)$.

Pour tout $(a, b) \in {\mathbb{R}}^2$ :

• $\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$
• $\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$
  

La fonction cosinus est paire donc elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction sinus est impaire donc elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Fonction tangente

La fonction tangente est définie, continue et dérivable sur les intervalles $]-\frac{\pi}{2} + k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi[$ avec $k$ réel.

Elle est périodique de période $\pi$.

Pour tout $x\in]-\frac{\pi}{2} + k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi[$ avec $k$ réel, $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

La fonction tangente est impaire donc elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Valeurs remarquables du cosinus, sinus et de la tangente

Equations $\cos (x) = \cos(a)$ et $\sin(x) = \sin(a)$

• $\cos(x) = \cos(a) \Leftrightarrow x = a + 2k \pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
• $\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k \pi$ ou $x = \pi - a + 2k \pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire

Pour $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x’ ; y’)$ deux vecteurs non nuls du plan :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u} ; \vec{v})$

Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Dans un repère orthonormé du plan, on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$ qui est un nombre réel.

Formules d’Al-Kashi

Soit $\mathrm{ABC}$ un triangle quelconque.

${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2 - 2\mathrm{AB}\times\mathrm{AC} \cos(\hat{\mathrm{A}})$

${\mathrm{AB}}^2 = {\mathrm{AC}}^2 + {\mathrm{BC}}^2 - 2\mathrm{AC}\times \mathrm{BC} \cos(\hat{\mathrm{C}})$

${\mathrm{AC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{BC}}^2 - 2\mathrm{AB}\times\mathrm{BC} \cos(\hat{\mathrm{B}})$

Norme d’un vecteur

Pour $\vec{u}(x ; y)$ un vecteur du plan, $\Vert \vec{u}\Vert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.