1) Exemples de fonction de plusieurs variables :
a) $f(x,y) = x^2+2xy -3e^{xy}$ est une fonction des deux variables $x$ et $y$.
On a par exemple $f(1,2) = 1^2 + 2.1.2-3e^{1.2} = 5-3e^{2}$
b) $\displaystyle{g(x,y,z) = \frac{x-y+\ln(z)}{x^2+y^2+z^2}}$ est une fonctions des $3$ variables $x$, $y$ et $z$.
On a par exemple $\displaystyle{g(10,10,1)=\frac{10-10+\ln(1)}{10^2+10^2+1^2}=0}$.
Cette fonction n’est pas définie pour toutes les valeurs de $x$, $y$ et $z$. Le dénominateur ne doit pas s annuler. Or $x^2+y^2+z^2 = 0 \iff x=0$ et $y=0$ et $z=0$.
Donc $x^2+y^2+z^2 \neq 0 \iff (x,y,z) \in {\Bbb R}^{3} \backslash \{(0,0,0)\}$.
De plus , $\ln(z)$ n’est défini que si $z>0$. Dans ce cas, la condition $x^2+y^2+z^2 \neq 0 $ est toujours vérifiée.
Finalement, l’ensemble de définition de $g$ s’écrit alors $D_g = {\Bbb R}^{2} \times ]0,+\infty[$.
c) $f(x_{1},x_{2}, \ldots, x_{n})= \sum_{i=1}^{n}x_i^{2} = x_1^{2} + \ldots + x_n^{2}$ est une fonction des $n$ variables $x_{1},x_{2}, \ldots, x_{n}$.
Dans ce qui suit on ne considère que les fonctions de deux variables pour simplifier mais les définitions et les théorèmes se généralisent sans difficultés à des fonctions de $n$ variables.
2) Applications partielles.
Soit $(x,y) \mapsto f(x,y)$ une fonction de deux variables définie sur une partie $D$ de ${\Bbb R}^2$.
Soit $m=(a,b)$ un point de $D$.
La première application partielle de $f$ au point $m$ est la fonction d’une seule variable notée $f_{1,m}$ définie par $f_{1,m}(x) = f(x,b)$.
Autrement dit, la deuxième variable $y$ a été fixée à la valeur $b$ et la première variable $x$ a été laissée libre.
De la même façon, la deuxième application partielle de $f$ au point $m$ est la fonction d’une seule variable notée $f_{2,m}$ définie par $f_{2,m}(y) = f(a,y)$.
Autrement dit, la première variable $x$ a été fixée à la valeur $a$ et la deuxième variable $y$ a été laissée libre.
Exemple : on considère $f(x,y) = x^2+2xy -3e^{xy}$.
On prend $m=(3,5)$.
La première application partielle est $f_{1,m}(x) = f(x,5) = x^2+10x-3e^{5x}$.
Remarque : l’abscisse $3$ ne joue aucun rôle ici. La première application en n’importe quel point du type $(*,5)$ est la même que précédemment.
La deuxième application partielle est $f_{2,m}(y) = f(3,y) = 9 +6y -3e^{3y}$.
3) Représentation d’une fonction de deux variables.
Soit $(x,y) \mapsto f(x,y)$ une fonction de deux variables.
On représente $f$ par une surface $S$ dans ${\Bbb R}^3$ définie ainsi : un point $M(x,y,z)$ appartient à $S$ si et seulement si $z=f(x,y)$.
La coordonnée $z$ s’appelle la cote ou l’altitude.
Exemple : on considère $f(x,y) = x^2+y^2$. La surface $S : z=f(x,y)$ est invariante par rotation autour de l’axe verticale $(0z)$.
En effet, soit $M(x ,y,z)$ appartenant à $S$. On a donc $z=x^{2}+y^{2}$.
On fait tourner $M$ autour de l’axe $(Oz)$ d’un angle $\theta$. Les coordonnées du nouveau point $M’$ sont $(x’,y’,z)$ ($M$ et $M’$ ont même altitude) avec :
\[\left(\begin{array}{c}
x’ \\
y’
\end{array}
\right)
=
\left(\begin{array}{cc}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right).\]
On a donc :
\[\left\{\begin{array}{ccc}
x’ &= & \cos(\theta)x + \sin(\theta)y\\
y’&= & -\sin(\theta)x + \cos(\theta)y
\end{array}
\right.\]
On a $f(x’,y’) = x’^{2} + y’^{2}$ $= (\cos(\theta)x + \sin(\theta)y)^{2} + (-\sin(\theta)x + \cos(\theta)y)^{2}$ $= x^{2}+ y^{2} = z.$
Cela prouve que le point $M’$ appartient encore à $S$.
Donc $S$ est invariante par rotation par rapport à l’axe $(Oz)$.
Pour tracer $S$ il suffit donc de faire tourner autour de l’axe $(Oz)$ l’intersection de $S$ avec le plan $(y0z)$ (par exemple) d’équation $x=0$.
Cette courbe a pour équation $z=x^{2}+y^{2}$ et $x=0$ donc $z=y^{2}$ (parabole tracée dans le plan $x=0$).
