Remarque :
Les notions développées ci-dessus ont été illustrées pour les matrices 3 lignes et 3 colonnes mais elles sont valables de façon plus générale pour les matrices ayant $n$ lignes et $p$ colonnes.
1) Une matrice $3 \times 3$ est un tableau de nombres de $3$ lignes et $3$ colonnes
\[\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{array}\right)\]
Les nombres s'appellent des coefficients. On les indexe par le numéro de ligne et le numéro de colonne. $a_{i,j}$ signifie que c'est le coefficient situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$.
2) Opérations sur les matrices
Il y a $3$ opérations possibles : l'addition, la multiplication par une constante et la multiplication de deux matrices.
- L'addition est définie ainsi :
$\scriptstyle\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\ \end{array}\right)$ $\scriptstyle= \left(\begin{array}{ccc} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & a_{1,3}+b_{1,3}\\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & a_{2,3}+b_{2,3}\\ a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} & a_{3,3}+b_{3,3}\\ \end{array}\right)$
- La multiplication par une constante est définie ainsi :
$\scriptstyle\lambda\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{array}\right)$ $\scriptstyle = \left(\begin{array}{ccc} \lambda a_{1,1} & \lambda a_{1,2} & \lambda a_{1,3}\\ \lambda a_{2,1} & \lambda a_{2,2} & \lambda a_{2,3}\\ \lambda a_{3,1} & \lambda a_{3,2} & \lambda a_{3,3}\\ \end{array}\right)$.
- La multiplication de deux matrices est définie ainsi :
$\scriptstyle \left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\ \end{array}\right)$ $\scriptstyle = \left(\begin{array}{ccc} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\ \end{array}\right)$
avec
$c_{1,1} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} + a_{1,3}b_{3,1}\\ c_{2,1} = a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} + a_{2,3}b_{3,1}\\ c_{3,1} = a_{3,1}b_{1,1} + a_{3,2}b_{2,1} + a_{3,3}b_{3,1}\\ c_{1,2} = a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,3}b_{3,2}\\ c_{2,2} = a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} + a_{2,3}b_{3,2}\\ c_{3,2} = a_{3,1}b_{1,2} + a_{3,2}b_{2,2} + a_{3,3}b_{3,2}\\ c_{1,3} = a_{1,1}b_{1,3} + a_{1,2}b_{2,3} + a_{1,3}b_{3,3}\\ c_{2,3} = a_{2,1}b_{1,3} + a_{2,2}b_{2,3} + a_{2,3}b_{3,3}\\ c_{3,3} = a_{3,1}b_{1,3} + a_{3,2}b_{2,3} + a_{3,3}b_{3,3}$
3) Exemples
Soit $\mathrm A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 0\\ 6 & -2 & 2\\ \end{array}\right)$ et $\mathrm B = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ -1 & 6 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$.
Alors la matrice $\rm D=A+4B$ est égale à $\mathrm D = \left(\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 10\\ -3 & 25 & 4\\ 6 & -2 & 2\\ \end{array}\right)$.
Et $\rm C =A \times B$ est égale à $\mathrm C= \left(\begin{array}{ccc} 1 & -6 & -1\\ 0 & 6 & 3\\ 8 & -12 & 10\\ \end{array}\right)$.
Attention, en général, $\rm A \times B$ n'est pas égal à $\rm B \times A$.
4) Matrices particulières
Une matrice du type $\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\\ \end{array}\right)$ est dite diagonale car tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
La matrice diagonale $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$ s'appelle la matrice unité ou identité. Elle se note $\mathrm I$.
On a pour toute matrice $\mathrm A$ : $\rm A \times I = A$ et $\rm I \times A = A$.
La matrice $\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$ est la matrice nulle et se note $(0)$. On a pour toute matrice $\mathrm A$ : $\rm A + (0) = A$.
5) Matrice inversible
On dit qu'une matrice $\mathrm A$ est inversible s'il existe une autre matrice $\mathrm B$ telle que $\rm A \times B = I$.
