Pour la résolution d’un système d’équations en régime sinusoïdal, l’utilisation des grandeurs complexes permet de remplacer un système d’équations différentielles linéaires par un système d’équations linéaires complexes qui est beaucoup plus facile à traiter. Ainsi, nous décrivons sur cette fiche la notation complexe dans le cadre des régimes sinusoïdaux.
Le régime sinusoïdal
On parle de régime sinusoïdal lorsque la tension (ou l’intensité) prend la forme :
$u(t)=U_0.cos(\omega t + \phi)$
avec $U_0$ l’amplitude, $\omega$ la pulsation et $\phi$ la phase.
La notation complexe
Lors de l’association de dipôles faisant apparaître des déphasages, il est plus facile de travailler en notation complexe, $\underline{U}$, avec $Re(\underline{U})=u(t)$ :
$\underline{U}=U_0.exp(j(\omega t + \phi))$
Plus simplement, on utilisera :
$\underline{U}=\underline{U_0}.exp(j\omega t)$
avec $\underline{U_0}=U_0.exp(j\phi)$.
Les opérations en notation complexe
Dériver une grandeur par rapport au temps revient en notation complexe à la multiplier par $j \omega$.
Intégrer une grandeur par rapport au temps revient en notation complexe à la diviser par $j \omega$.
Les impédances complexes de dipôles élémentaires
Pour une résistance, $Z_R=R$.
Pour une bobine, $Z_L=jL\omega$.
Pour un condensateur, $Z_C=\frac{1}{jC\omega}$.
Les opérations sur les impédances complexes
En série, les impédances complexes s’ajoutent.
En parallèle, les inverses des impédances complexes s’ajoutent.
