Mathématiques financières

Un capital est placé à intérêts composés , lorsque à la fin de chaque année, l’intérêt s’ajoute au capital pour produire lui-même de l’intérêt. On dit encore que l’intérêt est capitalisé à la fin de chaque année.

Quelle est la valeur $A$ acquise au bout de $n$ années à partir d'un capital $C$ placé à intérêts composés au taux $t$ ? Nous posons $\displaystyle r = \frac{t}{100}$, $r$ étant l’intérêt annuel de 1 euro au bout de 1 an de placement. 

Les intérêts étant capitalisés, on obtient au bout d'une année \[\Rightarrow \displaystyle A = C( 1+r )1 = C\left(1+\frac{t}{100}\right)^1\]

Les intérêts étant capitalisés, on obtient au bout de 2 années \[\Rightarrow \displaystyle A = C( 1+r )^2 = C\left(1+\frac{t}{100}\right)^2\]

Les intérêts étant capitalisés on obtient au bout de $n$ années \[\Rightarrow \boxed {\displaystyle A = C( 1+r )^n = C(1+\frac{t}{100})^n}\] 

Cette dernière formule sert de base au calcul de l'une des 4 variables $A$, $C$, $r$ ou $n$ lorsqu'on connaît les 3 autres. Pour cela, on utilise les formules suivantes :

Trouver $A$ à partir de $C$, $r$ et $n$ : $A = C \times(1 + r)^n$ 

Trouver $C$ à partir de $A$, $r$ et $n$ : $\displaystyle C= \frac{A}{(1 + r)^n}$ 

Trouver $n$ à partir de $A$, $C$ et $r$ : $\displaystyle n =\frac{\log A - \log C}{\log(1 + r)}$

Trouver $r$ à partir de $A$, $C$ et $n$ : $\displaystyle r = \sqrt[n]{\frac{A}{C}}- 1$

Emprunt/placement - Formules pratiques pour le calcul de la valeur acquise (*) après le versement de la dernière annuité ou de la valeur actualisée (*) avant le versement de la première annuité
(*) = valeur de la suite d'annuités

Supposons un emprunt/placement avec $n$ annuités $a_p, p = 1, ..., n$, et un taux d'intérêt annuel $i$

La valeur acquise par une suite d'annuités immédiatement après le versement de la dernière est égale à :

\[\displaystyle V_n= \sum_{p=1}^n a_p (1+i)^{n-p}\]

La valeur actualisée d'une suite d'annuités une période avant le versement de la première est égale à :

\[\displaystyle V_0= \sum_{p=1}^n a_p (1+i)^{-p}\]

Si les annuités sont constantes et égales à $a$, on a alors :

\[\displaystyle V_n = a \times \frac{(1+i)^n -1}{i}\\ \displaystyle V_0 = a \times \frac{1 -(1+i)^{-n}}{i}\]

Si les annuités sont en progression arithmétique de première annuité $a$ et de raison $R$, on a :

\[\displaystyle V_0 = a \times \frac{1 -(1+i)^{-n}}{i} \times [a + \frac{R}{i} + n R]\]

Si les annuités sont en progression géométrique de première annuité $a$ et de raison $q$, on a :

\[\begin{array}{ll}\text{si }q\times(1+i)^{-1}=1 \Leftrightarrow q = 1+i \\ \text{alors }V_n = n a (1+i)^{n-1} \\ \text{si }q\times (1+i)^{-1} \neq 1 \Leftrightarrow q \neq 1+i \\ \text{alors }V_n = n a (1+i)^{n-1} \times \displaystyle \frac{(q(1+i)^{-1})^{n}-1}{q(1+i)^{-1}-1}\end{array}\]