Outils mathématiques de gestion 2

A.    Équations polynomiales
Construites avec $x$ et des puissances (entières) de $x$, uniquement.
On sait résoudre, de manière systématique, les degrés 1 et 2 : 

• degré 1 : résolution directe 
• degré 2 : utilisation du discriminant. $\Delta = b^2-4ac$ et $\displaystyle x_1= \frac{(-b- \sqrt \Delta)}{2a}$ et $\displaystyle x_2= \frac{(-b+ \sqrt \Delta)}{2a}$

Pour les degrés supérieurs, il n’y a plus de techniques et on ne saura résoudre que si la forme factorisée est donnée, se ramenant alors à des termes de degré 1 ou 2 que l’on sait résoudre. Pensez aux changements de variable.

B.    Équations non polynomiales

Il n’y a plus de techniques systématiques ; il faut regarder les fonctions en jeu, et dans certains cas « simples » des techniques appropriées existent pour résoudre. Ex : si $\ln$, alors la technique appropriée est l’usage de la fonction $\exp$ (et inversement). Pour une fonction dite « rationnelle » : la technique appropriée est de neutraliser le dénominateur

A.    Généralités
L’outil incontournable pour étudier une fonction est sa dérivée :

• Le signe de la dérivée indique une tendance à la hausse (croissance) ou à la baisse (décroissance) 
• aux points charnières où la tendance s’inverse, le signe de la dérivée s’inverse lui-même. Pour un maximum par exemple, le signe en amont est positif (croissance), et en aval négatif (décroissance). Au point précis du changement, la dérivée est nulle. 

au-delà du simple signe de la dérivée, sa valeur indique la vitesse d’évolution : augmentation (ou diminution) lente ou rapide selon une petite ou grande valeur de dérivée.

B.    Coût marginal

Objectif : mesurer la variation du coût total pour la production d’une unité supplémentaire.
Mathématiquement parlant, la fonction coût marginal est la dérivée de la fonction coût total :

$C_m (q) = C_t’(q)$

C.    Elasticité

Objectif : mesurer le rapport entre les variations de deux variables. Economiquement, l’élasticité d’une fonction f en un point x est la variation relative (en %) de f(x) observée pour une augmentation relative de x de 1%.

$Ef(x) = f’(x) \times x / f(x)$

D.    Matrice 

• Addition : Si deux matrices A et B et ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes, alors on peut les additionner : il suffit d’additionner terme à terme. 
• Multiplier par un nombre : il faut multiplier tous ses termes par ce nombre.
• Multiplication d’une matrice par une matrice colonne :
  $\begin{pmatrix}
  3 & 6 & 4 \\
  2 & 7 & 5
  \end{pmatrix}
  \times 
  \begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z 
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  3x + 6y + 4z \\
  2x + 7y + 5z
  \end{pmatrix}$
  
  
• Multiplication d’une matrice par une autre matrice (attention : les dimensions lignes/colonnes doivent être compatibles)
  
  $\begin{pmatrix}
  1 & 5 \\
  3 & 2
  \end{pmatrix}
  \times 
  \begin{pmatrix}
  2 & 7 & 4 \\
  3 & 1 & 2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  17 & 12 & 14 \\
  12 & 23 & 16
  \end{pmatrix}$
  
• Division : il n’existe pas vraiment de division ; on passe par une multiplication par l’inverse