Mécanique des fluides, résistance des matériaux

1. Forces de pression $p$ exercées par un fluide

\[\rm \vec{dF}=\mathcal p.\vec{dS}\]

Avec $\rm \vec{dF}$ la résultante des forces de pression s'exerçant sur l'élément de surface $\rm \vec{dS}$.

2. Relation fondamentale de la statique des fluides

$\vec{grad(p)}=\rho.\vec{f}$ avec $\rho$ la masse volumique de l'élément de fluide et $\vec{f}$ la densité volumique de forces.
$\vec{f}=\vec{g}$ si le corps n'est soumis qu'à son poids avec $g$ l'intensité de la pesanteur.

3. Relation fondamentale de la statique des fluides pour un fluide incompressible

Si le fluide est considéré comme incompressible et si la seule force subie par le fluide est la pesanteur, la différence de pression entre deux points $\rm A$ et $\rm B$ du fluide est telle que :

\[p(\mathrm A)−p(\mathrm B)=−\rho.g(z_\mathrm A−z_\mathrm B)\]

4. Poussée d'Archimède, $\vec{\Pi}$

Tout corps immergé dans un fluide en équilibre subit une force appelée poussée d'Archimède. Cette force est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé. Elle s'applique au centre de masse du fluide déplacé. Mathématiquement, on peut écrire :

$\vec{\Pi}=-\rho.\vec{g}.\tau$ avec $\rho$ la masse volumique du fluide et $\vec{\tau}$ le volume du corps immergé (c'est-à-dire le volume de fluide déplacé).

1. Équation de Navier-Stockes

Elle s'applique dans le cas de l'écoulement d'un fluide newtonien de viscosité $\eta$ dans un référentiel galiléen. Son expression est obtenue à partir du principe fondamental de la dynamique :

$\displaystyle \rho\frac{\mathrm D\vec{v}}{\mathrm Dt}=\vec{f_v}-\overrightarrow{grad p}+ \eta \vec \Delta \vec v$

Avec $\vec{f_v}$ la résultante des forces volumiques autre que celles de pression.

2. Équation d'Euler

Elle s'applique dans le cas d'un écoulement parfait (c'est-à-dire avec un grand nombre de Reynolds et en dehors de la couche limite) dans un référentiel galiléen. Son expression est identique à l'équation de Navier-Stockes sans le terme de force volumique de viscosité :

\[\displaystyle \rho\frac{\mathrm D\vec{v}}{\mathrm Dt}=\vec{f_v}-\overrightarrow{grad p}\]

3. Théorème de Bernoulli

Il s'applique dans le cas d'un écoulement ayant les caractéristiques suivantes :

• Parfait (effets visqueux négligeables)
• Incompressible (masse volumique reste constante)
• Stationnaire 

\[\displaystyle \frac{v^2}{2}+e_{pm}+\frac{p}{\rho}\textrm{ = constante}\]

Avec $e_{pm}$ l'énergie potentielle massique.
Souvent $e_{pm}$ se réduit à l'énergie potentielle massique de pesanteur seulement. Dans ce cas :

\[\displaystyle \frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho}\textrm{ = constante}\]