1) Appartenance, inclusion
Définition.
Un ensemble est une collection d'objets. On note un ensemble par une lettre capitale.
Pour dire que l'objet $x$ appartient à l'ensemble $E$, on écrit $x \in E$. Sinon on écrit $x \notin E$.
Remarques :
On peut définir un ensemble en donnant la liste explicite de ses éléments :
\[E = \{-1,2,19\}\text{ ou }F = \{n^2+1 \mid n \in {\Bbb N}\}.\]
On peut définir un ensemble par une propriété :
\[E = \{x \in {\Bbb N} \mid x^2-3x+2=0\}.\]
Par exemple, $0 \notin E$ car $0$ n'est pas une solution de l'équation $x^2-3x+2=0$ mais $1 \in E$ car $1$ est une solution de l'équation $x^2-3x+2=0$.
Définition.
- L'ensemble vide noté $\emptyset$ ou $\{\}$ est l'ensemble qui ne contient aucun élément.
- Un singleton est un ensemble contenant un seul élément. Par exemple $\displaystyle E=\{\sqrt{2}\}$.
- Une paire est un ensemble contenant deux éléments. Par exemple, $E = \{-7,10\}$.
Remarques :
- On a $\{14,14\} = \{14\}$ ; c'est un singleton. Autrement dit, il n'y a pas de répétition dans la liste des éléments d'un ensemble.
- On a $\{14,15\} = \{15,14\}$ autrement dit l'ordre des éléments n'est pas important un ensemble.
Définition.
Un ensemble $E$ est inclus dans un ensemble $F$ si tous les éléments de $E$ appartiennent à $F$.
On note $E \subset F$.
Ne pas confondre les symboles $\subset$ et $\in$.
Exemples :
\[\{-1,2\} \subset \{-1,2,19\}. \\ {\Bbb N} \subset {\Bbb Z} \subset {\Bbb N} \subset {\Bbb R} \subset {\Bbb C}.\]
Remarques :
- Les écritures suivantes sont incorrectes : $\{a\} \in \{a,b\}$, $a \subset \{a,b\}$.
Il faut écrire $\{a\} \subset \{a,b\}$, $a \in \{a,b\}$. - Un ensemble est inclus dans lui-même c'est-à-dire que l'on peut écrire $E \subset E$.
Définition.
Principe de de double inclusion. Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux si et seulement si $E \subset F$ et $F \subset E$.
2) Réunion et intersection
Définition.
Soit $A$ et $B$ deux ensembles.
- La réunion (ou l'union) de $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$.
- L'intersection de $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$.
On a donc les équivalences :
- $x \in A \cup B \iff x \in A$ ou $x \in B$.
- $x \in A \cap B \iff x \in A$ et $x \in B$.
Remarque :
Le "ou" mathématique est inclusif à la différence du "ou" du langage courant qui est exclusif.
Quand on dit que $x \in A$ ou $x \in B$, $x$ peut appartenir aussi à $A$ et à $B$ c'est-à-dire à l'intersection.
Exemple :
\[\begin{array}{ll}\{1,3,5\} \cup \{2,4,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\\ \{1,3,5\} \cap \{1,2,3,6\} = \{1,3\}\end{array}\]
Définition.
Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints s'ils n'ont pas intersection commune, c'est-à-dire $A \cap B = \{0\}$.
Propriétés de la réunion et de l'intersection :
$A \cup B = B \cup A$ et $A \cap B = B \cap A$ (commutativité)
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ et $A \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (associativité)
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B ) \cup (A \cap C )$ et $A \cup (B \cap C) = (A \cup B ) \cap (A \cup C )$ (distributivité)
Remarque :
L'écriture $A \cup B \cap C$ n'a pas de sens car on peut l'interpréter comme $(A \cup B) \cap C$ ou comme $A \cup (B \cap C)$. Et $(A \cup B) \cap C \neq A \cup (B \cap C)$.
3) Ensemble privé d'un autre, complémentaire.
Définition.
Soit $E$ et $F$ deux ensembles. Alors on définit $E \backslash F$ (on lit $E$ privé de $F$) par $E \backslash F = \{x \in E \mid x \notin F\}$.
Exemple :
\[{\Bbb R}^* = {\Bbb R} \backslash \{0\}.\]
Définition.
Si $F$ est inclus dans $E$ alors $E \backslash F$ s'appelle le complémentaire de $F$ dans $E$ et se note $C_E F$.
