But des développements limités (en abrégé d.l)
On cherche à approcher une fonction au voisinage d'un point par une fonction polynomiale.
Définition : Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un réel $a$. La fonction $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en $a$ s'il existe des réels $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ et une fonction $\epsilon$ tels que $f(x) = a_0 + a_1(x-a)+\ldots+a_n(x-a)^n+ (x-a)^n\epsilon(x)$ avec $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0}$.
Remarque : un développement limité à l'ordre $1$ correspond à approcher la courbe $y=f(x)$ par sa tangente d'équation $y=f(a) + f'(a)(x-a)$.
En fait, il suffit de connaître les d.l en $0$. En effet, posons $h=x-a$ et $g(h) = f(x) = f(a+h)$. Effectuer le d.l de $f$ en $a$ revient à faire le d.l de $g$ en $0$.
D.L usuels à connaître en $0$ :
\[\begin{array}{ll}\displaystyle{\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + x^n\epsilon(x)}\\ \displaystyle{\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \ldots + (-1)^nx^n + x^n\epsilon(x)}\\ \displaystyle{\ln(1+x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + x^n\epsilon(x)}\\ \displaystyle{e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x)}\\ \displaystyle{\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p}}{(2p)!} + x^{2p}\epsilon(x)}\\ \displaystyle{\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p+1}}{(2p+1)!} + x^{2p+1}\epsilon(x)}\end{array}\]
$\alpha$ étant un réel quelconque.
$\displaystyle(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +$ $\ldots + \displaystyle \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + x^n\epsilon(x)$
Opérations sur les d.l : on peut faire toutes les opérations sur les d.l. (combinaisons linéaires, produit, quotient, composée). Lorsqu'on fait les calculs, on ne garde que les termes de degré $\le n$.
Exemple : calculer le d.l de $f(x) = \cos(x)\sin(x)$ à l'ordre $4$. On a :
\[\displaystyle{f(x) = \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} + x^4\epsilon_1(x)\right)\times\left(x-\frac{x^3}{3!} + x^4\epsilon_2(x)\right)}\]
Lorsqu'on développe, on ne garde que les termes de degré $\le 4$ soit
\[\displaystyle{f(x) = x - \frac{2}{3}x^3 + \epsilon(x) x^4}\]
Applications : calcul de limite
Exemple : calculer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}\right)}$.
Notons $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}}$.
On calcule tout d'abord la somme des deux fractions : $\displaystyle{f(x) = \frac{x-\ln(1+x)}{x^2}}.$
Effectuons le d.l du numérateur à l'ordre $2$ :
\[\displaystyle{x -\ln(1+x) = x-\left(x-\frac{x^2}{2} + x^2\epsilon(x)\right) = \frac{x^2}{2} - x^2\epsilon(x)}\]
Donc $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} - \epsilon(x)$ donc $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) =\frac{1}{2}$
La formule suivante permet d'obtenir le d.l d'une fonction à n'importe quel ordre du moment que la fonction soit suffisamment dérivable.
Formule de Taylor-Young :
\[\begin{array}{ll}\displaystyle f(x) \stackrel{x \rightarrow a}{=} f(a) + (x-a)f'(a) \\ + \frac{(x-a)^2}{2!}f^{(2)}(a) + \frac{(x-a)^3}{3!}f^{(3)}(a) + \ldots \\+ \frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + \mathrm o(x-a)^n\epsilon(x-a).\end{array}\]
avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\epsilon(x-a) = 0$.
Exemple : calculons le d.l de $\ln$ à l'ordre $2$ au voisinage de $2$.
Posons $f(x) = \ln(x)$. Alors $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\text{ et }f^{(2)}(x)=-\frac{1}{x^2}$.
\[\begin{array}{ll}\Rightarrow f(2) = \ln(2)\\ \Rightarrow \displaystyle f'(2) = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \displaystyle f^{(2)}(2)=-\frac{1}{4}\end{array}\]
On a donc :
\[\begin{array}{ll}\displaystyle{\ln(x) \stackrel{x \rightarrow 2}{=} \ln(2) + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{4} \frac{(x-2)^2}{2!} \\
+ \left((x-2)^2 \right)\epsilon(x-2)) = \ln(2)\\
+ \frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{8} (x-2)^2 + \left((x-2)^2 \right)\epsilon(x-2)}\end{array}.\]
