Le déterminant d'une matrice est un nombre qui permet essentiellement de savoir si une matrice est inversible ou non.

Théorème : soit $\rm A$ une matrice carrée. $\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A) \neq 0$.

Remarque : ce qui va suivre est valable de façon générale pour les matrices carrées de n'importe quel ordre.

Déterminant d'une matrice triangulaire

Théorème : si une matrice est triangulaire supérieure c'est-à-dire de la forme $\rm A =\left(\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
0 & a_{2,2} & a_{2,3}\\
0 & 0 & a_{3,3}\\
\end{array}\right)$ alors le déterminant est égal à $a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$.

Autrement dit le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est égal au produit des éléments sur la diagonale. Cela marche aussi pour une matrice triangulaire inférieure :

\[\left|
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & 0 & 0\\
a_{2,1} & a_{2,2} & 0\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right| = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}.\]

Pour calculer un déterminant, on utilise deux techniques.

a) Le développement par rapport à une ligne ou une colonne

Tout d'abord, le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ est défini par :

\[\left|
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\\
\end{array}
\right| = ad-bc.\]

Passons au déterminant de la matrice :

\[\rm A =\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\end{array}
\right)\]

Par exemple, on va calculer le déterminant par développement par rapport à la première colonne. On a la formule :

\[\begin{array}{lll}
\det(\mathrm A) = (-1)^{1+1} a_{1,1} \left|
\begin{array}{cc}
a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right| +
(-1)^{2+1} a_{2,1}\\
\left|
\begin{array}{cc}
a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right| +
(-1)^{3+1} a_{3,1} \left|
\begin{array}{cc}
a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,2} & a_{2,3}\\
\end{array}
\right|.
\end{array}\]

On se rappelle de la formule ainsi :

  • On voit apparaître les coefficients $a_{1,1}$, $a_{2,1}$ et $a_{3,1}$ de la première colonne
  • Chaque coefficient est assigné d'un signe $(-1)^{i+j}$ en fonction du numéro de ligne et du numéro de colonne du coefficient $a_{i,j}$
  • Les déterminants $2 \times 2$ après le coefficient $a_{i,j}$ s'obtiennent en supprimant dans la matrice $\rm A$ la ligne numéro $i$ et la colonne $j$

Ce qui a été fait par rapport à la première colonne peut être fait par rapport à n'importe quelle colonne ou n'importe quelle ligne.

Par exemple, calculons le déterminant de $\rm A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$ par rapport à la première colonne : $\det(\mathrm A) = (-1)^{1+1} \times 0 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-2 & 2\\
\end{array}
\right|$ $+(-1)^{2+1} \times 1 \times
\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-2 & 2\\
\end{array}
\right|$ $+(-1)^{3+1} \times 6 \times
\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 0\\
\end{array}\right|.$

Ensuite, on calcule les déterminants $2 \times 2$ (ce n'est pas le peine de calculer le premier déterminant car il sera multiplié par zéro)

\[\begin{array}{ll}\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-2 & 2\\
\end{array}
\right| = -2+4=2
\end{array}\]

et

\[\begin{array}{ll}\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right| = 0-2=-2.
\end{array}\]

On a donc $\rm \det(A) = -(2) + 6 \times (-2) = -14$.

Si on avait développé par rapport à la dernière ligne :

$\det(\mathrm A) = (-1)^{3+1} \times 6
\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right|$ $+(-1)^{3+2} \times (-2) \times
\left|
\begin{array}{cc}
0& 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right|$ $+(-1)^{3+3} \times 2 \times
\left|
\begin{array}{cc}
0 & -1\\
1 & 1\\
\end{array}
\right|$.

Ce qui donne $\rm \det(A) = 6 \times (-2) + (-1)(-2)(-2) + 2 \times 1 =-14$.

Remarque : comme le déterminant est non nul, la matrice $A$ est inversible d'après un théorème.

b) Opérations sur les lignes ou les colonnes

On peut montrer que les opérations du type $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ avec $i \neq j$ ou $C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j$ avec $i \neq j$ ne modifient pas le déterminant. L'idée est alors de mettre beaucoup de zéros comme dans la méthode du pivot de Gauss pour éventuellement rendre la matrice triangulaire.

Exemple :

Dans la matrice $A = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$, on peut par exemple ajouter un zéro sans détruire les deux zéros déjà présents en effectuant l'opération $C_2 \leftarrow C_2 - C_1$ :

\[\rm \det(A) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 0 & 0\\
6 & -8 & 2\\
\end{array}
\right).\]

(La matrice a changé mais la théorie nous dit que le déterminant est identique).

On n'obtient pas une matrice triangulaire mais l'opération que nous avons effectuée est tout de même intéressante. En effet si on développe par rapport à la deuxième ligne, comme il y a deux zéros, il n'y aura qu'un seul terme dans le développement :

\[\rm \det(A) = (-1)^{2+1}(1)\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-8 & 2\\
\end{array}
\right| \\det(A)= -(-2+16) = -14.\]