1) Définition d'un espace vectoriel.

La définition générale d'un espace vectoriel est assez longue et compliquée ; elle n'est pas utile dans la pratique.

Ce qu'il faut retenir, c'est qu'un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs.

Cet ensemble est muni de deux opérations :

  • L'addition : un vecteur + un vecteur donne un vecteur
  • Une multiplication externe : un scalaire (c'est-à-dire un réel ou un complexe selon que l'on parle de ${\Bbb R}$-espace vectoriel ou de ${\Bbb C}$-espace vectoriel) multiplié par un vecteur donne un vecteur.

La multiplication externe est notée par un point.

Elle est qualifiée de « externe » car on multiplie des objets qui ne sont pas de même nature : un scalaire et un vecteur.

Il y a un vecteur particulier noté $0_E$ tel que pour tout vecteur $x$ : $x+0_E = x$ et $0_E+x=x$.

Exemple de référence :

On note $\rm E={\Bbb R}^2$ l'ensemble des couples ou des vecteurs du plan.

On définit $(x,y) + (x',y') = (x+x',y+y')$ et pour $\lambda$ réel, $\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y)$.

Muni de ces deux opérations, ${\Bbb R}^2$ est un espace vectoriel.

Le vecteur nul est $0_{{\Bbb R}^2} = (0,0)$.

On généralise cet exemple avec ${\Bbb R}^n$.

Autre exemple :

On note $\rm E$ l'ensemble des suites à valeurs réelles.

On définit l'addition de deux suites réelles par :

$(u_n)_{n \in {\Bbb N}} + (v_n)_{n \in {\Bbb N}} = (u_n+v_n)_{n \in {\Bbb N}}$ et pour $\lambda$ réel et $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ une suite réelle :

$\lambda.(u_n)_{n \in {\Bbb N}} = (\lambda u_n)_{n \in {\Bbb N}}$.

Le vecteur nul est la suite nulle c'est-à-dire la suite dont tous les termes sont nuls.

2) Définition d'un sous-espace vectoriel (sev)

Un sev de l'espace vectoriel $\rm E$ est une partie non vide $\rm F$ de $\rm E$ telle que :

  • Pour tous les vecteurs $x$ et $y$ dans $\rm F$, $x+y$ est dans $\rm F$ (la somme de deux vecteurs de $\rm F$ est un vecteur de $\rm F$)
  • Pour tous les vecteurs $x$ de $\rm F$ et pour tous les scalaires $\lambda$, le vecteur $\lambda x$ est dans $\rm F$.

On peut résumer ces deux conditions en une seule :

  • Pour tous les vecteurs $x$ et $y$ dans $\rm F$ et tous les scalaires $\lambda$ et $\mu$ :

$\lambda x + \mu y$ est dans $\rm F$. On dit que $\rm F$ est stable par combinaisons linéaires.

Exemple et contre-exemple :

a) On note $\bf E$ l'espace vectoriel $\bf{\Bbb R}^2$.

On note $\mathrm F = \left\{(x,y)\in {\Bbb R}^2 \mid xy\ge 0\right\}$.

$\rm F$ est en fait les vecteurs de ${\Bbb R}^2$ qui ont une abscisse et une ordonnée de même signe.

$\rm F$ est bien une partie non vide de ${\Bbb R}^2$. Notons $u = (1,2)$ et $v=(-2,-1)$.
Ces deux vecteurs appartiennent à $\rm F$ mais leur somme $u+v = (-1,1)$ n'appartient pas à $\rm F$.

Donc la première condition pour être un sev n'est pas vérifiée. $\rm F$ n'est donc pas un sev de $\rm E$.

b) On note $\bf E$ l'espace vectoriel des suites réelles.

On définit $\rm F$ l'ensemble des suites réelles arithmétiques c'est-à-dire l'ensemble des suites
$(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ telles qu'il existe un réel $r$ tel que pour tout $n$ de ${\Bbb N}$, $u_{n+1} = u_n + r$.

Alors $\rm F$ est un sev de $\rm E$.

En effet, soit $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ et $(v_n)_{n \in {\Bbb N}}$ deux suites arithmétiques.

Soit $\lambda$ et $\mu$ des scalaires.

Il existe des réels $r$ et $s$ tels que pour tout $n$ de ${\Bbb N}$, $u_{n+1} = u_n + r$ et $v_{n+1} = v_n + s$.

On a donc $\lambda u_{n+1} + \mu v_{n+1} = \lambda u_n + \lambda r + \mu v_n + \mu s = \lambda u_n + \mu v_n + \lambda r + \mu s$.

Si on définit la suite $(w_n) = (\lambda u_n + \mu v_n)$. Alors on a que pour tout $n$ de ${\Bbb N}$, $w_{n+1} = w_n + \lambda r + \mu s$.

Ce qui prouve que la suite $(w_n)$ est une suite arithmétique donc appartient à $\rm F$.

$\rm F$ est stable par combinaisons linéaires, c'est donc un sev de $\rm E$.

Remarque : l'ensemble des suites arithmétiques de raison $2$ n'est pas un sev en revanche.

3) Définition d'une application linéaire.

Définition : soit $\rm E$ et $\rm $ deux espaces vectoriels. $f$ est une application linéaire de $\rm E$ dans $\rm F$ si :

  • Pour tous les vecteurs $x$ et $y$ dans $\rm $, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
  • Pour tous les vecteurs $x$ de $\rm E$ et pour tous les scalaires $\lambda$, $f(\lambda x) = \lambda f(x)$.

On peut résumer ces deux conditions en une seule :

  • Pour tous les vecteurs $x$ et $y$ dans $\rm E$ et tous les scalaires $\lambda$ et $\mu$ : $f(\lambda x + \mu y)=\lambda f(x) + \mu f(y)$.

Exemple et contre-exemple :

a) On considère l'application $f : \bf\Bbb R^2 \rightarrow {\Bbb R}^2$ telle que $f((x,y)) = (x,x+y+1)$

On a $f((0,0)) = (0,1)$ et $f((0,1)) = (0,2)$. Or $f((0,0)+(0,1)) = f((0,1))=(0,2)$. Mais

$f((0,0)) + f((0,1)) = (0,1) + (0,2) = (0,3)$ donc $f((0,0)+(0,1)) \neq f((0,0)) + f((0,1))$ donc $f$ n'est pas linéaire.

b) On note $\bf E$ l'ensemble des suites réelles et $\bf F={\Bbb R}^2$

On définit l'application $f : \rm E \rightarrow F$ telle que $f((u_n)_{{\Bbb N}}) = (u_0,u_1)$.

(A une suite on associe les deux premiers termes de la suite.)

Montrons que $f$ est linéaire : soit $(u_n)_{{\Bbb N}}$ et $(v_n)_{{\Bbb N}}$ des suites. On a $(u_n)_{{\Bbb N}} + (v_n)_{{\Bbb N}} = (u_n+v_n)_{{\Bbb N}}$.

Alors par définition de $f$, $f(((u_n)_{{\Bbb N}} + (v_n)_{{\Bbb N}})) =  (u_0+v_0,u_1+v_1)$.

Or $(u_0+u_1,v_0+v_1) = (u_0,v_0) + (u_1,v_1) = f((u_n)_{{\Bbb N}}) + f((v_n)_{{\Bbb N}})$.

Soit $(u_n)_{{\Bbb N}}$ une suite et $\lambda$ un scalaire. On a $\lambda (u_n)_{{\Bbb N}} = (\lambda u_n)_{{\Bbb N}}$.

Alors $f(\lambda (u_n)_{{\Bbb N}}) = (\lambda u_0, \lambda u_1) = \lambda(u_0,u_1) = \lambda f((u_n)_{{\Bbb N}})$.