Remarque : les notions développées ci-dessus ont été illustrées pour les matrices 3 lignes et 3 colonnes mais elles sont valables de façon plus générale pour les matrices ayant $n$ lignes et $p$ colonnes.
1) Une matrice $\bf 3 \times 3$ est un tableau de nombres de $\bf 3$ lignes et $\bf 3$ colonnes.
\[\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)\]
Les nombres s'appellent des coefficients. On les indexe par le numéro de ligne et le numéro de colonne. $a_{i,j}$ signifie que c'est le coefficient situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$.
2) Opérations sur les matrices.
Il y a 3 opérations possibles : l'addition, la multiplication par une constante et la multiplication de deux matrices.
- L'addition est définie ainsi :
\[\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{array}
\right) \\ =
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & a_{1,3}+b_{1,3}\\
a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & a_{2,3}+b_{2,3}\\
a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} & a_{3,3}+b_{3,3}\\
\end{array}
\right)\]
- La multiplication par une constante est définie ainsi :
\[\lambda
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right) \\
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda a_{1,1} & \lambda a_{1,2} & \lambda a_{1,3}\\
\lambda a_{2,1} & \lambda a_{2,2} & \lambda a_{2,3}\\
\lambda a_{3,1} & \lambda a_{3,2} & \lambda a_{3,3}\\
\end{array}
\right).\]
- La multiplication de deux matrices est définie ainsi :
\[\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{array}
\right)\\ =
\left(
\begin{array}{ccc}
c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\
c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\
c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\
\end{array}
\right)\]
avec
\[c_{1,1} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} + a_{1,3}b_{3,1}\\
c_{2,1} = a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} + a_{2,3}b_{3,1}\\
c_{3,1} = a_{3,1}b_{1,1} + a_{3,2}b_{2,1} + a_{3,3}b_{3,1}\\
c_{1,2} = a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,3}b_{3,2}\\
c_{2,2} = a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} + a_{2,3}b_{3,2}\\
c_{3,2} = a_{3,1}b_{1,2} + a_{3,2}b_{2,2} + a_{3,3}b_{3,2}\\
c_{1,3} = a_{1,1}b_{1,3} + a_{1,2}b_{2,3} + a_{1,3}b_{3,3}\\
c_{2,3} = a_{2,1}b_{1,3} + a_{2,2}b_{2,3} + a_{2,3}b_{3,3}\\
c_{3,3} = a_{3,1}b_{1,3} + a_{3,2}b_{2,3} + a_{3,3}b_{3,3}\]
3) Exemples
Soit $\rm A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$ et $\rm B =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
-1 & 6 & 1\\
0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right).$
Alors la matrice $\rm D=A+4B$ est égale à :
\[\rm D= \left(\begin{array}{ccc}
4 & -1 & 10\\
-3 & 25 & 4\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}\right).\]
Et $\cal C = \rm A \times B$ est égale à :
\[\cal C=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -6 & -1\\
0 & 6 & 3\\
8 & -12 & 10\\
\end{array}
\right)\].
Attention, en général, $\rm A \times B$ n'est pas égal à $\rm B \times A$
4) Matrices particulières
Une matrice du type $\left(
\begin{array}{ccc}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c\\
\end{array}
\right)$ est dite diagonale car tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
La matrice diagonale $\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)$ s'appelle la matrice unité ou identité. Elle se note $\rm I$.
On a pour toute matrice $\rm A : A \times I = A$ et $\rm I \times A = A$.
La matrice $\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)$ est la matrice nulle et se note $(0)$. On a pour toute matrice $\rm A : A + (0) = A$.
5) Matrice inversible
On dit qu'une matrice $\rm A$ est inversible s'il existe une autre matrice $\rm B$ telle que $\rm A \times B = I$.
