1) Intégration par parties (IPP)
Formule d'IPP pour une primitive :
$\displaystyle{\int u'(x)v(x){\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x}$.
Formule d'IPP pour une intégrale :
$\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x}$.
Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif.
2) Exemples :
Calculons une primitive de $f(x) = xe^{-x}$. On choisit $u'(x)=e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = -e^{-x}$ et $v'(x)=1$.
La formule d'IPP donne :
$\displaystyle{F(x) = \int xe^{-x}{\rm d}x = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x = -e^{-x}x - \int -e^{-x}{\rm d}x}$
$\displaystyle{F(x) = -xe^{-x} + \int e^{-x}{\rm d}x = -xe^{-x} -e^{-x} = -(x+1)e^{-x}}$.
Remarque : on peut vérifier le résultat en dérivant $F$. On trouve bien $F'=f$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.
Calculons l'intégrale $\displaystyle{I = \int_1^e \ln(x){\rm d}x}$.
On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$.
D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a :
$\displaystyle{I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^ex \frac{1}{x}{\rm d}x = e\ln(e)-1\ln(1) - \int_1^e 1 {\rm d}x = e - (e-1) = 1}$.
3) La formule de changement de variable.
Le but est de réécrire l'intégrale sous une autre forme de façon à ce que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer.
La méthode est la suivante.
a) On définit $u = \varphi(t)$, $t$ étant l'ancienne variable d'intégration et $u$ la nouvelle.
b) On dérive l'égalité précédente pour obtenir : ${\rm d}u = \varphi'(t) {\rm d}t$ et on exprime ${\rm d}t$ en fonction de $u$ et ${\rm d}u$.
c) On réécrit l'intégrale en fonction uniquement de la nouvelle variable $u$ et on change les bornes.
4) Exemples :
On veut calculer $\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t}$. On ne voit pas de primitive de la fonction à intégrer.
a) On décide de poser $u=e^{2t}$.
b) On a alors ${\rm d}u = 2e^{2t} {\rm d}t$ (car $(e^{2t})' = 2e^{2t}$). Donc $\displaystyle{{\rm d}t = \frac{{\rm d}u}{2e^{2t}} = \frac{1}{2u}{\rm d}u}$ car $e^{2t}=u$.
c) Lorsque $t = 0$ alors $u=e^{2\times 0} =1$. Lorsque $t=1$ alors $u = e^{2\times 1}=e^2$.
L'intégrale s'écrit :
$\displaystyle{I = \int_0^1 \frac{e^{4t}}{e^{2t}+1}{\rm d}t
= \int_1^{e^2} \frac{u^2}{u+1}\frac{1}{2u}{\rm d}u = \frac{1}{2} \int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u }$.
Pour calculer l'intégrale, on décompose la fraction :
$\displaystyle{\frac{u}{1+u} = \frac{1+u-1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u}}$
On a alors :
$\displaystyle{\int_1^{e^2}\frac{u}{1+u}{\rm d}u = \int_1^e 1 {\rm d}u - \int_1^{e^2} \frac{1}{1+u}{\rm d}u = [u]_1^{e^2} - [\ln(1+u)]_1^{e^2}} = e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)$.
Donc :
$\displaystyle{I = \frac{1}{2}\left(e^2-1 - \ln(1+e^2) + \ln(2)\right)}$.
