Matrices

Définition d’une matrice

Une matrice $\mathrm{A}$ de dimensions $m \times n$ est un tableau de nombres à $m$ lignes et à $n$ colonnes. On la représente avec ses $m \times n$ coefficients réels $(a_{i,j})$ $(i \in \{1 ; ... ; m\}$ et $j \in \{1 ; ... ; n\})$ :

Pour tout $i \in \{1 ; ... ; m\}$ et $j\in\{1 ; ... ; n\}$, le coefficient $a_{i,j}$ est le nombre positionné sur la $\mathrm{i^{ième}}$ ligne et de la $\mathrm{j^{ième}}$ colonne.

• Si $m = n$, la matrice est carrée d’ordre $n$.
• Si $m = 1$, la matrice est une matrice ligne.
• Si $n = 1$, la matrice est une matrice colonne.

Exemple :

$A = \begin{equation*} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 5 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$ est une matrice carré d’ordre $2$.

Egalité de deux matrices

Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont les mêmes dimensions $m \times n$ et leurs coefficients de même position sont égaux.

Addition et soustraction de matrices

Pour additionner (ou soustraire) deux matrices de même dimension, on additionne (ou soustrait) les coefficients de même position.

Multiplication par un réel

Pour multiplier une matrice par un réel, on multiplie chaque coefficient par ce réel.

Multiplications de deux matrices

Exemple avec des matrices d’ordre $2$ :

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$ $\times$ $\begin{equation*} \begin{bmatrix} a’ & b’ \\ c’ & d’ \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$ $= \begin{equation*} \begin{bmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \\ \end{bmatrix} \end{equation*}$

Avec $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.

Inverse d’une matrice

Si elle existe, la matrice inverse d’une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est la matrice notée $\rm A^{-1}$ telle que $\rm A\times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$ la matrice identité composée de $1$ sur la diagonale et de $0$ sinon.