Définition : On définit $P(A)$ la probabilité de l’événement $A\in\Omega$ par :
$P(A)=\frac{\mbox{nombre de cas favorables à l’événement}}{\mbox {nombre de cas possibles}}$
Propriétés élémentaires :
- $P(\emptyset)=0$
- $P(\Omega)=1$
- $0\leq P(A)\leq 1$
- $P(\bar{A})=1-P(A)$ avec $\bar{A}$ événement contraire de $A$.
- $P(A)=1$ signifie que l’évènement est toujours réalisé (évènement certain).
- $P(A)=0$ signifie que l’évènement est impossible.
- $P(A\mbox{ ou }B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
- Si $A$ et $B$ sont incompatibles (ou exclusifs : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps), alors $A\cap B=\emptyset$ et $ P(A\mbox{ et }B)=P(A\cap B)=0$.
Définition : Soit $B$ événement de $\Omega$ tel que $P(B)>0$.
Pour tout $A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $A$ sachant $B$ (probabilité conditionnelle) est :
$P_B(A)=P(A|B)= \displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Théorème : Soient $A, B$ deux événements de $\Omega$.
$P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$
Théorème : Formule de Bayes :
Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulle :
$P(A|B)=\displaystyle\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$
Définition : Deux événements $A, B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Remarque :
- Si $P(B)>0$, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A|B)=P(A)$.
- Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.
Théorème :
Si $A$ et $B$ sont indépendants :
- $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
- $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
- $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
Théorème : Formule des probabilités totales
Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :
$P(B)=P(A)\times P(B/A)+P(\bar{A})\times P(B/\bar{A})$.
