Suites récurrentes linéaires d'ordre 1 ou d'ordre 2

Définition :

Soient $a,b \in {\Bbb R}$. Une suite arithmético-géométrique ou linéaire du premier ordre est une suite définie par $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n+1}=au_n+b$.

On cherche à déterminer $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.

Méthode pour déterminer $u_n$ en fonction de $n$.

• Si $a=1$ alors $(u_n)$ est une suite arithmétique donc on a $u_n = u_0 + n b$.
• On suppose dans la suite que $a \neq 1$. On définit une autre suite $v_n = u_n - c$ avec $c$ solution de l'équation $ax+b = x$ c'est-à-dire $\displaystyle{c=\frac{b}{1-a}}$. La théorie nous dit alors que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$. Donc $v_n = a^nv_0$. Comme $u_n=v_n+c$, on a $u_n = a^n v_0+c = a^n (u_0 - c) +c$.

Définition :

Soient $(a,b,c) \in {\Bbb R}^* \times {\Bbb R}^2$. Une suite récurrente linéaire d'ordre $2$ est une suite définie par $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$.

Méthode pour déterminer $u_n$ en fonction de $n$. 

On écrit l'équation caractéristique : $r^2=ar+b$ $\iff$ $r^2-ar-b=0$. On note $\Delta = a^2+4b$.

• si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique a deux solutions $r_1$ et $r_2$ réelles distinctes. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=\mathrm Ar_1^n + \mathrm Br_2^n$ avec $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.
• si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique a une racine double $r_0$. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=(\mathrm A+\mathrm Bn)r_0^n$ avec $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$.
• si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique a deux solutions $r_1$ et $r_2=\overline{r_1}$ complexes non réelles conjuguées. Alors $\forall n \in {\Bbb N}$: $u_{n}=\rho^n(\mathrm A \cos(n\theta) + \mathrm B \sin(n\theta))$ avec $\rho = |r_1|$ et $\theta$ un argument de $r_1$. (Remarque : au lieu de $r_1$ on peut prendre $r_2$). 

$\mathrm A$ et $\mathrm B$ sont deux constantes que l'on détermine à l'aide des conditions initiales $u_0$ et $u_1$. 

Exemple :

La suite de Fibonacci est définie par $u_0=0$ et $u_1=1$ puis $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$. 

L'équation caractéristique est $r^2-r-1=0$ admet les deux solutions réelles $\displaystyle{r_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ et $\displaystyle{r_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$ . 

Il existe donc $(\rm A,B) \in {\Bbb R}^2$ telles que $\forall n \in {\Bbb N}$, $\displaystyle{u_n = \mathrm A\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \mathrm B\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}$. 

Les conditions initiales s'écrivent $0=u_0= \rm A+B$ et $1=u_1$ $\displaystyle = \mathrm A\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \mathrm B\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$. La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues donne $\displaystyle{\mathrm A=\frac{1}{\sqrt{5}}}$ et $\displaystyle{\mathrm B=-\frac{1}{\sqrt{5}}}$.

On a donc $\forall n \in {\Bbb N}$, $\displaystyle{u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]}$. 

Remarque : On vérifie que la formule ci-dessus redonne bien les valeurs de $u_0$ et $u_1$.