$\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$
$\rm I$ est un intervalle de $\mathbb R$.
Méthode 1 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 1
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1 est de la forme $\rm (E) : x'=a(t)\mathcal x+b(t)$ avec $\rm a, b$ fonctions continues de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$ et pour inconnue $x$ fonction dérivable de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$.
Théorème :
Soit $(\mathrm t_0,x_0)\in \mathrm I\times \mathbb K$.
Le problème de Cauchy $\scriptstyle\left\{\begin{array}{ll} \scriptstyle x'=\mathrm{a(t)}x+\rm b(t) & \scriptstyle(\mathrm E) \\ \scriptstyle x(\mathrm t_0)= x_0 & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\mathrm I$.
Théorème :
$(\mathrm E_0) : x'=\mathrm{a(t)}x$ est l'équation homogène associée à $(\mathrm E)$.
L'ensemble des solutions sur $\mathrm I$ de l'équation homogène est la droite vectorielle engendrée par $\rm t\mapsto e^{A(t)}$ avec $\mathrm A$ primitive de la fonction $\mathrm a$.
Méthode :
Pour résoudre $(\mathrm E)$, une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène $(\mathrm E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
- On cherche une solution particulière à $(\mathrm E)$ : $x_p$.
- La solution générale de $(\mathrm E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_\mathrm p(\mathrm t)$.
Théorème :
Si la solution homogène est de la forme $x_0\rm (t)=C \varphi(t)$, on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme $x_{\rm p}(t)=C(t) \varphi(t)$.
Méthode 2 : Résoudre une équation linéaire d'ordre 2
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 est de la forme $\rm (E) : \mathcal x''= a(t)x'+ b(t) \mathcal x+c(t)$ avec $\rm a,b,c$ fonctions continues de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$ et pour inconnue $x$ fonction deux fois dérivable de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$.
Théorème :
Soit $(\mathrm t_0,x_0, x_0')\in \mathrm I\times \mathbb K^2$.
Le problème de Cauchy $\scriptstyle\left\{\begin{array}{lll} \scriptstyle x''=\mathrm{a(t)}x'+\mathrm{b(t)}x+\rm c(t) & \scriptstyle(\mathrm E) \\ \scriptstyle x(\mathrm t_0)=x_0 & \scriptstyle\text{(condition initiale)} \\ \scriptstyle x'(\mathrm t_0)=x_0' & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\mathrm I$.
Théorème :
$(\mathrm E_0) : x''=\mathrm{a(t)}x'+\mathrm{b(t)}x$ est l'équation homogène associée à $(\mathrm E)$.
L'ensemble des solutions sur $\mathrm I$ de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de $\mathrm C^2(\mathrm I,\mathbb K)$ de dimension $2$.
Méthode :
Pour résoudre $(\mathrm E)$, une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène $(\mathrm E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
- On cherche une solution particulière à $(\mathrm E)$ : $x_\mathrm p$.
- La solution générale de $(\mathrm E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_{\rm p}\rm (t)$.
Cas des équations à coefficients constants :
Soit $(\mathrm E) : y''+\mathrm ay'+\mathrm by=\mathrm c$ avec $\rm a,b\in\mathbb K$ et $c : \mathrm I\to \mathbb K$ continue.
Pour résoudre l'équation homogène $(\mathrm E_0) : y''+\mathrm ay'+\mathrm by=0$.
On résout l'équation caractéristique associée $\rm r^2+ar+b=0$ $\rm (E_c)$ :
- Si $\mathbb K=\mathbb C$, si $\Delta \neq 0$, $\rm (E_c)$ a deux solutions $\alpha, \beta$ : $x_0(\rm t)=\lambda_1 e^{\alpha t}+\lambda_2 e^{\beta t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb C$.
- Si $\mathbb K=\mathbb C$, si $\Delta = 0$, $\rm (E_c)$ a une solution double $\alpha$ : $x_0(\rm t)=(\lambda_1 +t\lambda_2) e^{\alpha t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb C$.
- Si $\mathbb K=\mathbb R$, si $\Delta > 0$, $\rm (E_c)$ a deux solutions $\alpha, \beta$ : $x_0(\rm t)=\lambda_1 e^{\alpha t}+\lambda_2 e^{\beta t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb R$.
- Si $\mathbb K=\mathbb R$, si $\Delta = 0$, $\rm (E_c)$ a une solution double $\alpha$ : $x_0(\rm t)=(\lambda_1 +t\lambda_2) e^{\alpha t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb R$.
- Si $\mathbb K=\mathbb R$, si $\Delta < 0$, $\rm (E_c)$ a deux solutions conjuguées $\alpha \pm \mathrm i \beta$ : $x_0(\rm t)=(\lambda_1 \cos(\beta t) +\lambda_2 \sin(\beta t)) e^{\alpha t}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb R$.
Théorème :
Soit $(\mathrm E) : x''=\mathrm{a(t)}x'+\mathrm{b(t)}x+\mathrm{c(t)}$.
Si la solution homogène est de la forme $x_0(\mathrm t)=\lambda \varphi(\mathrm t)+\mu \psi(\mathrm t)$, avec $\lambda, \mu \in \mathbb R$, on peut utiliser la méthode de variation des constantes en cherchant une solution particulière de la forme $x_{\rm p}\rm (t)=\lambda(t) \varphi(t)+\mu(t) \psi(t)$ avec $\lambda, \mu$ fonctions dérivables.
Méthode 3 : Résoudre des équations linéaires d'ordre $\bf n$
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $\bf n$ est de la forme $(\mathrm E) : x^{(\mathrm n)}$ $=\mathrm a_{\mathrm n-1}(\mathrm t)x^{(\mathrm n-1)}+\mathrm a_{\mathrm n-2}(\mathrm t)$ $x^{(\mathrm n-2)}+\ldots+\mathrm a_1(\mathrm t)x'+\mathrm a_0(\mathrm t)x+\mathrm{b(t)}$ avec $\rm a_0, a_1, \ldots, a_n, b$ fonctions continues de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$ et pour inconnue $x$ fonction n-fois dérivable de $\mathrm I$ vers $\mathbb K$.
Théorème :
Soit $(\mathrm t_0,x_0,\ldots, x_{\rm n-1})\in \rm I\times \mathbb K^n$.
Le problème de Cauchy $\scriptstyle\left\{\begin{array}{ll}\scriptstyle x^{(\mathrm n)}=\mathrm a_{\mathrm n-1}(\mathrm t)x^{(\mathrm n-1)}+a_{\mathrm n-2}(\mathrm t)x^{(\mathrm n-2)}\\
\scriptstyle+\ldots +\mathrm a_1(\mathrm t)x'+\mathrm a_0(\mathrm t)x+\mathrm{b(t)} & \scriptstyle(\mathrm E)\\
\scriptstyle x^{(\mathrm k)}(\mathrm t_0)=x_\mathrm k \text{ pour } 0\leq \mathrm k\leq \mathrm n-1 & \scriptstyle\text{(condition initiale)}\end{array}\right.$ possède une unique solution définie sur $\mathrm I$.
Théorème :
$(\mathrm E_0) : x^{(\mathrm n)}=\mathrm{a_{n-1}(t)}x^{(\mathrm n-1)}+\mathrm{a_{n-2}(t)}$ $x^{(\mathrm n-2)}+\ldots+\mathrm a_1(\mathrm t)x'+\mathrm a_0(\mathrm t)x $ est l'équation homogène associée à $(\mathrm E)$.
L'ensemble des solutions sur $\mathrm I$ de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de dimension $\mathrm n$ de $\rm C^n(I,\mathbb K)$.
Méthode :
Pour résoudre $(\mathrm E)$, une fois le type d'équation identifié :
- On résout l'équation homogène $(\mathrm E_0)$ pour obtenir la solution homogène $x_0$.
- On cherche une solution particulière à $(\mathrm E)$ : $x_\mathrm p$.
- La solution générale de $(\mathrm E)$ est $x(\mathrm t)=x_0(\mathrm t)+x_{\mathrm p}\rm (t)$.
