Dérivation d’un vecteur par rapport au temps
On appelle vecteur position d’un point $M$ par rapport à un repère cartésien $R_{1}=(O_{1},\overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{y_{1}},\overrightarrow{z_{1}})$ le vecteur qui lie le point $M$ à l’origine (fixe) du repère $R_{1}$ :
\begin{equation*}
\overrightarrow{O_{1}M}=x(t)\overrightarrow{x_{1}}+y(t)\overrightarrow{y_{1}}+z(t)\overrightarrow{z_{1}}
\end{equation*}
Le vecteur vitesse par rapport au repère $R_{1}$ s’écrit :
\begin{equation*}
\overrightarrow{V_{M/R_{1}}} = \left.\dfrac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right|_{R_{1}} = \dot{x}(t)\overrightarrow{x_{1}}+\dot{y}(t)\overrightarrow{y_{1}}+\dot{z}(t)\overrightarrow{z_{1}}
\end{equation*}
On considère maintenant un repère cartésien $R_{2}=(O_{2}=O_{1},\overrightarrow{x_{2}},\overrightarrow{y_{2}},\overrightarrow{z_{2}})$ en rotation par rapport au repère $R_{1}$ autour de l’axe $\overrightarrow{z_{1}}=\overrightarrow{z_{2}}$ :
On définit le vecteur vitesse de rotation de $R_{2}$ par rapport à $R_{1}$ :
\begin{equation*}
\overrightarrow{\Omega_{R_{2}/R_{1}}} = \dot{\theta}(t) \overrightarrow{z_{1}}
\end{equation*}
La formule de Bour permet d’exprimer la dérivée d’un vecteur dans une base par rapport à une base mobile :
\begin{equation*}
\left.\dfrac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right|_{R_{1}} = \left.\dfrac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right|_{R_{2}} + \overrightarrow{\Omega_{R_{2}/R_{1}}} \wedge \overrightarrow{O_{1}M}
\end{equation*}
Si on définit un troisième repère mobile $R_{3}$ on peut montrer la formule de composition des vitesses de rotation :
\begin{equation*}
\overrightarrow{\Omega_{R_{3}/R_{1}}}=\overrightarrow{\Omega_{R_{3}/R_{2}}}+\overrightarrow{\Omega_{R_{2}/R_{1}}}
\end{equation*}
Cinématique du solide
Soit $A$ un point d’un solide indéformable lié à un repère $R_{1}$ en mouvement par rapport à un repère $R_{0}$. La vitesse de ce point $A$ peut être reliée à la vitesse d’un point $B$ par la formule de Varignon :
\begin{equation*}
\overrightarrow{V_{B,R_{1}/R_{0}}}=\overrightarrow{V_{A,R_{1}/R_{0}}}+\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R_{0}}}
\end{equation*}
Comme pour le vecteur vitesse de rotation, on a la formule de composition en vitesse en un même point $A$ :
\begin{equation*}
\overrightarrow{V_{A,R_{3}/R_{1}}} = \overrightarrow{V_{A,R_{3}/R_{2}}} + \overrightarrow{V_{A,R_{2}/R_{1}}}
\end{equation*}
Cinématique du contact
Soient 2 solides $S$ et $S’$ en contact au point $I$, Soit $R_{0}$ un repère fixe. On définit la vitesse de glissement par :
\begin{equation*}
\overrightarrow{V_{I,S/S’}} = \overrightarrow{V_{I,S/R_{0}}} - \overrightarrow{V_{I,S’/R_{0}}}
\end{equation*}
Lorsqu’il y a roulement sans glissement on a $\overrightarrow{V_{I,S/S’}} = \vec{0}$
