Torseurs
Un torseur est une manière d’écrire un champ de vecteurs et peut être décrit par 3 paramètres : 2 vecteurs et un point d’application. En statique le torseur des actions mécaniques en un point $A$ d’un solide $S$ exercées sur un solide $S’$ s’écrit :
\begin{equation*}
\{ \mathcal{T}_{S \rightarrow S'} \} =
\left\{
\begin{array}{c}
\overrightarrow{R_{S \rightarrow S'}} \\
\overrightarrow{M_{A,S \rightarrow S'}}
\end{array}
\right\}_{A}
\end{equation*}
Le torseur respecte la formule de Varignon, en connaissant $\overrightarrow{M_{A,S \rightarrow S’}}$ et le vecteur $\overrightarrow{BA}$, on peut connaître $\overrightarrow{M_{B,S \rightarrow S’}}$ :
\begin{equation*}
\overrightarrow{M_{B,S \rightarrow S’}}=\overrightarrow{M_{A,S \rightarrow S’}}+\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{R_{S \rightarrow S’}}
\end{equation*}
La résultante $\overrightarrow{R_{S \rightarrow S’}}$ est inchangée par changement de point.
Torseur associé à une liaison parfaite
Pour toutes les liaisons sauf l’hélicoïdale, si un mouvement de rotation est autorisé suivant un axe, alors le moment autour de ce même axe au point d’application de la liaison est nul.
Pour toutes les liaisons sauf l’hélicoïdale, si un mouvement de translation est autorisé suivant un axe, alors la résultante suivant ce même axe est nul.
Pour la liaison hélicoïdale modélisée au point $A$, la vitesse de rotation $\overrightarrow{\omega}$ et la vitesse de translation $\overrightarrow{V_{A}}$ dans l’axe de la liaison sont liées par le pas de liaison $p$ : $\overrightarrow{V_{A}}=\pm \frac{p}{2\pi}\overrightarrow{\omega}$, le signe dépendant de l’orientation du pas (+ si à droite ou – si à gauche). Le même type de relation lie le moment $\overrightarrow{M_{A}}$ autour de l’axe de la liaison à l’effort $\overrightarrow{F}$ suivant ce même axe : $\overrightarrow{M_{A}}=\pm \frac{p}{2\pi}\overrightarrow{F}$.
Principe fondamental de la statique
Un système de solides indéformables peut être modélisé par un schéma cinématique, dans lequel à chaque liaison est associé un torseur des actions mécaniques. On peut associer à ce schéma cinématique un graphe des liaisons répertoriant les numéros des solides, le nom/axe/point d’application de chaque liaison entre 2 solides ainsi que les actions mécaniques extérieures qui s’exercent sur le système.
Pour appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
- Isoler un solide ou ensemble de solides.
- Faire le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à l’isolement, les traduire sous forme de torseurs (ne pas oublier le point d’application de chaque torseur).
- Appliquer la formule de Varignon et ramener tous les torseurs au point correspondant à la liaison avec le plus d’inconnues.
Par le PFS la somme des vecteurs forces est nulle et la somme des vecteurs moments au point choisi est nulle.
En 3 dimensions il y a 3 composantes d’efforts et 3 composantes en moment ce qui donne un système de 6 équations. En 2 dimensions il y a 2 composantes d’effort dans le plan considéré et une composante en moment suivant l’axe normal au plan, soit 3 équations.
