Dérivation

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant ${x}_0$.

On dit que $f$ est dérivable en ${x}_0$ si le quotient $\frac{f({x}_0 + h) - f({x}_0)}{h}$ admet une limite finie quand h tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en ${x}_0$ et se note $f '({x}_0)$. 

On a donc :

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f({x}_0 + h) - f({x}_0)}{h}$ = $f'({x}_0)$.

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f dérivable en ${x}_0$ on calcule $f'({x}_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse ${x}_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse ${x}_0$.

Equation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $x_0$ a pour équation :

$y = f’(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Dérivée des fonctions usuelles
La fonction carré ($x\mapsto x^2$) est dérivable sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 2x$.
La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est dérivable sur l’intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$.

Dérivée d'une somme
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$ et : $(u + v)' = u’ + v’$.

Dérivée d'un produit par un réel
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un nombre réel.
La fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et : $(k \times u)' = k \times u'$.

Dérivée et variations
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f’(x) > 0$ pour tout $x\in$I, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Si $f’(x) < 0$ pour tout $x\in~I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d’une fonction
Soit $a\in~I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f’(a) = 0$ et $f’$ change de signe en $a$.