Fonctions

Fonctions $x\mapsto ax^2$, $a\neq 0$ un réel

• Si $a > 0$, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
  Elle est située au-dessus de l’axe des abscisses.
• Si $a < 0$, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le bas.
  Elle est située au-dessous de l’axe des abscisses.
  Dans tous les cas, la courbe représentative de cette fonction admet pour extremum le point O(0 ; 0) et pour axe des symétrie la droite d’équation $x = 0$.

Fonctions $x\mapsto ax^2 + b$, $a\neq 0$ et $b$ deux réels

• Si $a > 0$, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
• Si $a < 0$, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le bas.
  Dans tous les cas, la courbe représentative de cette fonction admet pour extremum le point S(0 ; $b$) et pour axe des symétrie la droite d’équation $x = 0$.

Exemples de représentations graphiques :

Fonctions $x\mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$, $a\neq 0$, $x_1 < x_2$ trois réels

• Si $a > 0$, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le haut.
  Elle coupe l’axe des abscisses en $x = x_1$ et $x = x_2$.
  Elle est située au-dessus de l’axe des abscisses sur les intervalles $]-\infty~;~x_1[$ et $]x_2~;~+\infty[$, et au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle $]x_1~;~x_2[$.
• Si $a < 0$, la courbe représentative de cette fonction est une parabole orientée vers le bas.
  Elle coupe l’axe des abscisses en $x = x_1$ et $x = x_2$.
  Elle est située au-dessous de l’axe des abscisses sur les intervalles $]-\infty~;~x_1[$ et $]x_2~;~+\infty[$, et au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle $]x_1~;~x_2[$.

Dans tous les cas, la courbe représentative de cette fonction admet pour extremum le point $\displaystyle \mathrm S(\frac{x_1 + x_2}{2} ; \frac{-a{(x_2 - x_1)}^2}{4})$ et pour axe des symétrie la droite d’équation $\displaystyle x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Exemples de représentations graphiques :

Fonctions $x\mapsto ax^3$ et $x\mapsto ax^3 + b$, $a\neq 0$ et $b$ deux réels

• Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Dans tous les cas, le point $\Omega$(0 ; $b$) est centre de symétrie de la courbe.

Exemples de représentations graphiques :

Fonctions $x\mapsto a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, $a\neq 0$, $x_1 < x_2 < x_3$ quatre réels
Tableau de signes :

Equations $x^3 = c$, $c > 0$ un nombre réel
La solution de l’équation $x^3 = c$ est le nombre $x = c^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{c}$.

Exemples :
La solution de l’équation $x^3 = 8$ est le nombre $x = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$ car $2^3 = 8$.
La solution de l’équation $x^3 = 31$ est le nombre $x = 31^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{31} \approx 3,14138$.