1) Linéariser signifie transformer un produit en somme.
Pour linéariser des expressions trigonométriques, on dispose soit des formules de trigonométrie soit des formules d'Euler.
2) Formule de linéarisation à connaître ou savoir retrouver.
- $\displaystyle{\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}}$
- $\displaystyle{\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}}$
- $\displaystyle{\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)}$
- $\displaystyle{\sin a \sin b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]}$
- $\displaystyle{\sin a \cos b = \frac{1}{2}\left[\sin(a+b) + \sin(a-b)\right]}$
- $\displaystyle{\cos a \cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]}$
3) Utilisation des formules d'Euler
Lorsque les puissances sont grandes, il est préférable d'utiliser les formules d'Euler :
$\displaystyle{\cos^px\sin^qx = \left(\frac{\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix}}{2}\right)^p \left(\frac{\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{-ix}}{2i}\right)^q}$
On développe tout à l'aide de la formule du binôme de Newton puis on revient en $\cos$ et $\sin$ en réutilisant les formules d'Euler dans le sens : $\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix} = 2\cos(x)$ et $\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{-ix} = 2 i \sin(x)$.
4) Applications
a) résolution d'équations trigonométriques
Résoudre l'équation $(\mathrm E) :\sin(x) + \sin(2x)$ $+$ $\sin(3x) + \sin(4x)= 0$.
On a, par les formules de trigonométrie, $\displaystyle \sin(x) + \sin(2x) = 2\sin\left(\frac{3x}{2}\right) \cos\left(-\frac{x}{2}\right)$ et $\displaystyle\sin(3x) + \sin(4x) = 2\sin\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(-\frac{x}{2}\right)$.
Donc $\displaystyle (\mathrm E) \iff \cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{3x}{2}\right) + \sin\left(\frac{7x}{2}\right) \right] =0$ $\iff$ $\displaystyle\cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos(x)=0$.
Donc $\displaystyle(\mathrm E) \iff \cos\left(\frac{x}{2}\right) =0$ ou $\displaystyle\sin\left(\frac{5x}{2}\right)=0$ ou $\cos(x)=0$.
$\mathrm S = \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi~; \pi + 2l\pi~; \frac{2m\pi}{5} \mid (k,l,m)\in{\Bbb Z}^3\right\}$.
b) Calcul d'une primitive ou d'une intégrale
Calculons $\displaystyle{I(x) = \int \cos^2(x) {\rm d}x}$.
Par le formulaire, $\displaystyle{\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}}$.
Donc $\displaystyle\mathrm I(x) = \frac{1}{2} \left( \int 1 {\rm d}x + \int \cos(2x) {\rm d}x \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right)$.
c) Calcul d'une primitive ou d'une intégrale.
Calculer la primitive $\displaystyle{\int \sin^4(3x)\cos x{\rm d}x}$.
Ce n'est pas une forme connue.
On linéarise l'expression $\mathrm A(x) = \sin^4(3x)\cos x$ grâce aux formules d'Euler.
$\displaystyle \mathrm A(x) = \frac{1}{2^5}\left(\mathrm e^{i3x}-\mathrm e^{-i3x}\right)^4\left(\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix}\right)$.
Après développement, on trouve $\displaystyle \mathrm A(x) = \frac{1}{2^4}\left[\cos(13x) + \cos(11x) -4\cos(7x) -4\cos(5x)+6\cos(x)\right]$.
D'où $\displaystyle \int \mathrm A(x) {\rm d}x = \frac{1}{2^4}\left[\frac{1}{13}\sin(13x) + \frac{1}{11}\sin(11x)\right.$ $-$ $\left.\displaystyle\frac{4}{7}\sin(7x) - \frac{4}{5}\sin(5x)+6\sin(x)\right]$.
Remarque : calculer la primitive $\displaystyle{\int \sin^4(x)\cos(x) {\rm d}x}$. Inutile de linéariser ici ! C'est une forme connue. L'expression $\sin^4(x)\cos x$ est du type $u^4(x)u'(x)$. On a alors $\displaystyle{\int \sin^4(x)\cos(x){\rm d}x = \frac{1}{5}\sin^5(x)}$.
