Quelles sont les équations de Maxwell dans le vide ?
$div \vec E = 0$
$\vec{rot} \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$
$div \vec B = 0$
$\vec{rot} \vec B = \epsilon _0 \mu _0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$
On remarque que les champs $\vec E$ et $\vec B$ sont couplés. Ainsi, une variation de $\vec E$ entraine une variation de $\vec B$ qui entraine une variation de $\vec E$ et ainsi de suite.
Comment démontrer l’équation de D’Alembert ?
L’équation de D’Alembert est une équation générale décrivant la propagation non dispersive d’une onde. Dans le cas de la propagation du champ électrique.
Elle s’écrit :
$\nabla ^2 \vec E - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$
Avec $c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon _0 \mu 0}}$
Remarque : On a exactement la même équation pour le champ magnétique.
Pour démontrer l’équation de propagation du champ électrique, on peut :
- Commencer par prendre le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday.
- On utilise alors l’équation de Maxwell-Ampère pour remplacer $\vec{rot} \vec B$.
- On remplace $\vec{rot} \left( \vec{rot} \vec E \right)$ grâce à la formule « rot(rot)=grad(div)-lap ».
- On conclut
Comment résoudre l’équation de D’Alembert ?
Les solutions de l’équation de D’Alembert peuvent se décomposer sous la forme d’une somme d’ondes planes progressives harmoniques (OPPH). Ainsi, on aura :
$\vec E = \vec E_0 cos (\omega t - \vec k . \vec r + \phi)$
Avec :
$\omega$ la pulsation
$\vec k$ le vecteur d’onde (orienté dans la direction de propagation)
$\vec r$ le vecteur position
$\phi$ la phase à l’origine
Quelle est la structure des OemPPH ?
La relation de structure des ondes électromagnétiques planes progressives dans le vide est :
$\vec B= \frac{\vec k \land \vec E}{\omega}$
On en déduit que ces 3 vecteurs sont orthogonaux. Plus précisément, $\vec k$, $\vec E$ et $\vec B$ forment un trièdre orthogonal direct.
On dit que les OemPP dans le vide sont transverses (ou transversales).
La relation de structure nous indique également que $\vec E$ et $\vec B$ sont en phase.
Enfin, grâce à la relation de structure, on peut directement déduire $\vec B$ de $ \vec E$ ou inversement.
