SLCI : Analyse fréquentielle

Soit une fonction de transfert en boucle \textbf{ouverte} écrite sous forme canonique:

$\rm FTBO(p)=\dfrac{G(p)}{p^{\alpha}(1+b_{1}p+...+b_{n}p^{n})}$

On rappelle que :

• $\alpha$ est la classe du système.
• $\alpha+n$ est l'ordre du système, c'est-à-dire la puissance du monôme de plus haut degré au dénominateur.

$\rm G(p)$ est un polynôme et on suppose que la fraction est supposée irréductible. L'objectif est de calculer les asymptotes du diagramme de Bode en gain et en phase de $\rm FTBO(p)$. Pour cela on rappelle qu'en analyse fréquentielle si l'entrée du système est sinusoïdale de pulsation $\omega$, la sortie est aussi sinusoïdale.

On pose alors $p=j\omega$ où $j$ est le nombre complexe tel que $j^{2}=-1$ et on redonne les définitions de gain et de phase :

$\rm G_{dB}(\omega)=20.\log_{10}\left(\left| FTBO(j\omega) \right|\right)$
$\rm \varphi(\omega)=Arg\left(FTBO(j\omega)\right)$

On suppose qu'il existe une pulsation propre $\omega_{0}$ telle que $\rm FTBO(j\omega)$ est une fraction de polynômes en $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}$, par exemple si on donne la $\rm FTBO$ :

$\rm FTBO(j\omega)=\dfrac{K}{1+j2z\dfrac{\omega}{\omega_{0}}-\left(\dfrac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}$

C'est une fonction de transfert en boucle ouverte d'un système d'ordre 2, de pulsation propre $\omega_{0}$ et d'amortissement $z$, le dénominateur est un polynôme en $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}$. Pour calculer les asymptotes:

Étape 1 : Calculer $G_{dB}(\omega)$ et $\varphi(\omega)$.

Étape 2 : Supposer $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}<<1$, on élimine donc les termes de plus haut degré, l'expression qui reste donne la pente ou la valeur du gain/phase en basse fréquence.

Étape 3 : Supposer $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}>>1$, on élimine donc les termes de plus bas degré, l'expression qui reste donne la pente ou la valeur du gain/phase en haute fréquence.

Remarque : Le cas $\omega=\omega_{0}$ donne les valeurs particulières de gain et phase à la pulsation propre, il peut être intéressant de calculer ce terme si on demande un tracé précis du diagramme de Bode.

On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée et s'écrit sous la forme :

$\rm FTBO(p)=H_{1}(p)H_{2}(p)...H_{n}(p)$

$\rm FTBO(p)$ est un produit de $n$ fonctions de transfert pour lesquelles le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de degré $1$ ou $2$. Sans faire de calcul, on souhaite tracer le diagramme de Bode en gain et en phase de $\rm FTBO(p)$.

L'idée principale de la méthode est que le diagramme de Bode transforme les produits en sommes. Ainsi les étapes suivantes peuvent être suivies :

Étape 1 : Tracer le diagramme de Bode en gain et en phase pour chaque fonction de transfert $\rm H_{i}(p) \forall i \in [1,n]$.

Étape 2 : Sommer les tracés des différents diagrammes pour obtenir celui de $\rm FTBO(p)$.

On rappelle que pour une fonction de transfert d'ordre 1 de la forme :

$\rm H(p)=\dfrac{K}{1+\tau p}$

En basse fréquence l'allure du gain est constante égale à $20.log_{10}(|K|)$ et la phase est nulle. En haute fréquence le gain décroît avec une pente de $\rm -20~dB/décade$ et la phase tend vers $-90°$. La fréquence de coupure se situe en $1/\tau$.

On rappelle que pour une fonction de transfert d'ordre 2 de la forme :

$\rm H(p)=\dfrac{K}{1+\dfrac{2z}{\omega_{0}} p+\dfrac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}}$

L'allure du diagramme de Bode change suivant la valeur de l'amortissement $z$.

Si $z \ge 1$ la fonction de transfert se décompose comme un produit de 2 fonctions de transfert d'ordre 1.

Si $\dfrac{\sqrt{2}}{2} < z < 1$ en basse fréquence le gain est constant à $\rm 20\cdot \log_{10}(|K|)$ et la phase est nulle. Au-delà de la pulsation $\omega_{0}$ le gain asymptotique a une pente $\rm -40~dB/décade$ et la phase tend vers $-180°$.

Si $\rm z \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ le tracé asymptotique est similaire au cas précédent mais l'allure du diagramme en gain présente un pic à la pulsation de résonance $\rm \omega_{r}=\omega_{0}\sqrt{1-2z^{2}}$.