Suites et séries de fonctions, séries entières

On considère des fonctions à valeurs dans $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
$\mathrm{I}$ et $\mathrm{J}$ représentent des intervalles de $\mathbb R$.
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ vers $\mathbb K$.

Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions

• Convergence simple :

Définition :

La suite de fonctions $(u_{\rm n})$ converge simplement vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\mathrm{t\in I}$, $\displaystyle u_{\mathrm {n(t)}}\underset{\mathrm n\to +\infty}{\to}u\rm (t)$.

On dit que $u$ est la limite simple de la suite $(u_{\rm n})$ notée $u=\displaystyle\lim_{\mathrm n\to +\infty} u_{\mathrm n}$.

Propriétés :

Si $u_{\rm n}$ converge simplement sur $\mathrm{I}$ vers $u$ :

1. Si chaque $u_{\rm n}$ est positive, alors $u$ est positive.
2. Si chaque $u_{\rm n}$ est croissante, alors $u$ est croissante.

• Convergence uniforme :

Définition :

La suite de fonctions $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\rm N \in\mathbb N$ tel que pour tout $\mathrm{n \in \mathbb N}$, $\mathrm{n \geq N}$, alors pour tout $\mathrm{t \in I}$, $|u_{\mathrm{n(t)}}-u\rm (t)|\leq \epsilon$.
On dit que $\mathrm{u}$ est la limite uniforme de la suite $(u_{\rm n})$.

Théorème :

La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Théorème :

Il y a équivalence entre

1. $u_{\rm n}$ converge uniformément vers $u$.
2. A partir d’un certain rang, les fonctions $u_{\mathrm n}-u$ sont bornées et $\|u_{\mathrm n}-u\|_{\infty}\rightarrow 0$.

Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites

Théorème :

Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\mathrm{I}$ et si chaque $u_{\rm n}$ est continue en $\mathrm{a \in I}$, alors $u$ est continue en $\mathrm{a}$. Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.

Théorème de la double limite :

Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\mathrm{I}$ et si chaque $u_{\rm n}$ tend en $\mathrm{a}$ vers une limite finie $\mathrm{l_n}$ alors $\mathrm{(l_n)}$ converge et $\mathrm{\displaystyle\lim_{t\to a}\lim_{n\to +\infty}}u_\mathrm n(\mathrm t)= \displaystyle \lim_{\mathrm n\to +\infty}\lim_{\rm t\to a}u_{\rm n}(t)$.

Théorème de Weierstrass :

Toute fonction continue sur un segment $S$ et à valeurs dans $\mathbb K$ est limite uniforme sur $S$ de fonctions polynomiales à coefficients dans $\mathbb K$.

Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation

• Intégration de suites de fonctions sur un segment :

Théorème :

Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions continues définies sur $\mathrm{I}$. Soit $\mathrm{a \in I}$.
Si $(u_{\rm n})$ converge uniformément sur tout segment de $\mathrm{I}$ vers une fonction $u$, alors pour tous $\mathrm{n\in\mathbb N}$ et $x\in \rm I$,  $(u’_n)$  converge uniformément vers $\displaystyle \int_{\mathrm a}^x u\rm (t)dt$ sur tout segment de $I$.

• Dérivation de suites de fonctions :

Théorème :

Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de classe $\mathrm{C^1}$ sur $\mathrm{I}$.
Si $(u_{\rm n})$ converge simplement sur $\mathrm{I}$ vers $u$ et si $(u_{\rm n’})$ converge uniformément sur tout segment de $\mathrm{I}$, alors $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur tout segment de $\mathrm{I}$, $u$ est de classe $\mathrm{C^1}$ sur $\mathrm{I}$ et $u’=\lim u’_n$.

Théorème d’extension:

Soit $(u_n)$ suite de fonctions de classe $C^k$ sur $I$.
Si pour tout $0\leq j\leq k-1$, $(u_n^{(j)})$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f_j$ et si  $(u_n^{(k)})$ converge uniformément vers $f_k$ sur tout segment de $I$, alors $f_0$ est de classe $C^k$ sur $I$ et pour tout $ j\leq k-1$,  $f_0^{(j)}=f_j$.

Méthode 4 : Généralisation aux suites de fonctions vectorielles

Les suites $(u_{\rm n})$ sont définies ici sur un espace vectoriel de dimension finie $\mathrm{E}$ de dimension finie, à valeurs dans un espace vectoriel normé $\mathrm{F}$ de dimension finie. On considère $\mathrm{X}$ partie de $\mathrm{E}$.

• Convergences de suites de fonctions vectorielles :

Définitions :

$(u_{\rm n})$ converge simplement vers $u : \rm X\to F$ si pour tout $x\in \rm X$, $u_{\mathrm n}(x) \to u(x)$.
$(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u : \rm X\to F$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\mathrm{N \in \mathbb N}$ tel que pour tout $\mathrm{n \in \mathbb N}$, $\mathrm{n\geq N}$, alors pour tout $x \in \rm X$, $\|u_{\mathrm n}(x)-u(x)\|_{\rm F\leq \epsilon}$.

Théorème :

La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

• Continuité et limite :

Théorème :

Si $(u_{\rm n})$, suite de fonctions continues, converge uniformément vers $u$ alors $u$ est continue.
Le théorème de la double limite reste valable.

• Intégration et dérivation :

Les résultats vus pour les suites numériques restent valables.

Méthode 1 : Etudier la convergence de séries entières

Définition :

On note $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ la série entière définie par la suite de coefficients $\rm (a_n)\in \mathbb C^{\mathbb N}$.

Le domaine de convergence de la série entière noté $\rm D$ est l’ensemble des $z\in\mathbb C$ pour lesquels $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ converge. 

On note la somme de la série entière : $\rm S :D\to \mathbb C$ définie par $\displaystyle\rm S(\mathcal z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \mathcal z^n$.

Lemme d’Abel :

Si la suite $\rm (a_n\mathcal z_0^n)$ est bornée, alors pour tout $z\in\mathbb C$ tel que $|z|<|z_0|$, la série $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ est absolument convergente.

On appelle rayon de convergence de la série $\displaystyle \sum a_n \mathcal z^n$ le nombre : $\rm R=\sup \{r\geq 0/(a_nr^n) \text{est bornée}\}$ $\rm (R\in \mathbb R^+ \cup \{+\infty\})$ et $\rm D(0,R)=\{\mathcal z\in \mathbb C,|\mathcal z|< R\}$ le disque de convergence de la série entière.

Théorème :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ série entière de rayon de convergence $\rm R$.
Si $|z|< \rm R$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ est absolument convergente.
Si $|z|> \rm R$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ diverge grossièrement.

Théorème :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ série entière de rayon de convergence $\rm R$.

$\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ converge normalement sur tout disque fermé de centre $0$ et de rayon strictement inférieur à $\rm R$.

Théorème de comparaison :

Soient $\displaystyle\rm \sum a_n\mathcal z^n$ et $\displaystyle \rm \sum b_n\mathcal z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $\rm R_a$ et $\rm R_b$.

• Si $\rm |a_n|\leq |b_n|$ alors $\rm R_a\geq R_b$
• Si $\rm a_n=O(b_n)$ alors $\rm R_a\geq R_b$
• Si $\rm a_n \sim b_n$, alors $\rm R_a=R_b$.

Théorème (règle de d’Alembert) :

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière.

Si $\displaystyle |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ a une limite quand $n$ tend vers l’infini, le rayon de convergence $R$ de la série entière est donné par:

$\displaystyle\frac{1}{R}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$.

Théorème :

Les séries entières $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ et $\displaystyle \rm \sum na_n\rm z^n$ ont même rayon de convergence.

Méthode 2 : Etudier les sommes et produits de séries entières

Soient $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ et $\displaystyle \rm \sum b_n\mathcal z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $\rm R_a$ et $\rm R_b$.

Théorème pour la somme :

Le rayon de convergence $\rm R$ de la série entière somme $\displaystyle \rm \sum (a_n+b_n)\mathcal z^n$ vérifie $\rm R\geq min(R_a,R_b)$.

Pour tout $|z|< \rm min(R_a,R_b)$,

$\displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty} (a_n+b_n)\mathcal z^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\mathcal z^n +\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\mathcal z^n$

Remarque :

Si $\rm R_a \neq R_b$ alors $\rm R=min(R_a,R_b)$.

Théorème pour le produit :

Le rayon de convergence $\rm R$ de la série entière produit $\displaystyle \rm \sum c_n\mathcal z^n$ avec $\rm c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$ vérifie $\rm R\geq min(R_a,R_b)$.

Pour tout $|z|< \rm min(R_a,R_b)$,

$\displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty}c_n\mathcal z^n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\mathcal z^n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\mathcal z^n\right)$

Méthode 3 : Etudier une série entière d’une variable réelle

On considère ici une série entière $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ de rayon de convergence $\rm R>0$ avec $x\in\mathbb R$.

Théorème de convergence :

• Pour tout $x\in \rm ]-R~ ;R[$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ converge absolument.
  L’intervalle $\rm ]-R~ ;R[$ est appelé intervalle ouvert de convergence de la série $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$.
• Pour tout segment inclus dans $\rm ]-R~ ;R[$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ converge normalement.
• Pour tout $|x|> \rm R$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ diverge grossièrement.
• Pour $x=\rm R$ ou $x=-\rm R$, il faut étudier les séries précisément.

Théorème d’Abel radial:

Si $\sum a_n x^n$ a pour rayon de convergence $R>0$ et si $\sum a_n R^n$ converge, alors $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ tend (quand $x$ tend vers $R^-$) vers  $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n$.

Théorème d’intégration :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ de rayon de convergence $\rm R>0$.

$x \mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}\mathcal x^{n+1}$ est la primitive sur $\rm ]-R~ ;R[$ s’annulant en $0$ de $x \mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^{n}$.

Théorème de dérivation :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ de rayon de convergence $\rm R>0$.

$\rm S : \mathcal x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\mathcal x^{n}$ est de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\rm ]-R~ ;R[$.

Pour tout $\rm p\in \mathbb N$, pour tout $x\in \rm ]-R ~;R[$, $\rm S^{(p)}(\mathcal x)$ $=\displaystyle \rm \sum_{n=p}^{+\infty}n(n-1)\ldots(n-p+1)a_n\mathcal x^{n-p}$ $=\displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty}(n+p)(n+p-1)\ldots(n+1)a_{n+p}\mathcal x^n$

Théorème :

Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\displaystyle \rm a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n !}$.

Théorème d’identification :

Soient $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ et $\displaystyle \rm \sum b_n\mathcal x^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $\rm R_a>0$ et $\rm R_b>0$.
Si les fonctions $x\mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^{n}$ et $x\mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}b_n \mathcal x^{n}$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $\rm n$, $\rm a_n=b_n$.

Soit $\rm I$ intervalle de $\mathbb R$, voisinage de $0$.

Soit $\rm r\in\mathbb R^{+*}\cup \{+\infty\}$ tel que $\rm ]-r ~;r[\subset I$.

Méthode 1 : Etudier des fonctions développables en séries entières

Définition :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$.

$f$ est développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$ s’il existe une série entière $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ telle que pour tout $x\in \rm ]-r~ ;r[$, $\displaystyle\rm \sum a_n \mathcal x^n$ converge et $f(x)=\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^n$.

Remarque :

Soit $\rm R$ le rayon de convergence de $\displaystyle \sum \mathrm{a_n} x^{\rm n}$. On a toujours $\rm R\geq r$.

Définition :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$.

$f$ est développable en série entière en $0$ s’il existe $\rm r>0$ telle que $f$ est développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.

Théorème :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$.

Si $f$ est développable en série entière sur $\rm ]-r ~;r[$ avec $f(x)= \displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^n$ pour tout $x\in \rm ]-r~ ;r[$, 

Alors $f$ est de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\rm ]-r~ ;r[$ et pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\displaystyle \rm a_n=\frac{\mathcal f^{(n)}(0)}{n !}$.

La série entière $\displaystyle \rm \sum \frac{\mathcal f^{(n)}(0)}{n !} x^n$ est appelé série de Taylor en $0$ de $f$.

Remarque :

Si $f$ n’est pas de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\rm ]-r~ ;r[$, $f$ ne peut pas être développée en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.

Méthode 2 : Faire des opérations sur des fonctions développables en séries entières

Théorème :

Soient $f : \rm I\to \mathbb C$ et $g : \rm I\to \mathbb C$ deux fonctions développables en séries entières sur $\rm ]-r~ ;r[$.

• Pour tout $\lambda \in\mathbb C$, $\lambda f$, $f+g$ et $fg$ sont développables en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.
• $\bar{f}$, $\rm Re(\mathcal f)$, et $\rm Im(\mathcal f)$ sont développables en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.
• Soit $f$ fonction paire (respectivement impaire) développable en série entière : pour tout $\rm n\in \mathbb N$, $\rm a_{2n+1}=0$ (respectivement $\rm a_{2n}=0$).

Théorème sur les dérivées :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$ développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.

Les dérivées successives de $f$ sont également développables en série entière.

Théorème d’intégration :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$ développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$ avec $f(x)=\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^n$.

Les primitives $\rm F$ de $f$ sont également développables en série entière :

$\displaystyle\rm F(\mathcal x)=F(0)+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}\mathcal x^{n+1}$.

Méthode 3 : Utiliser des développements en série entière usuels

• $\exp(z)= \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\mathcal z^n}{n !}$ sur $\mathbb C$
• $\ln(1+z)=\displaystyle\rm \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{\mathcal z^n}{n}=\mathcal z-\frac{\mathcal z^2}{2}+\frac{\mathcal z^3}{3}\ldots$ pour tout $z$ tel que $|z|< 1$.
• $(1+x)^{\alpha}=1+ \displaystyle\rm \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n !}\mathcal x^n$ sur $]-1 ~;1[$ pour tout $\alpha \in \mathbb R$.
• $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\rm \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal x^n$ sur $]-1~ ;1[$
• $\arctan(x)= \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\mathcal x^{2n+1}}{2n+1}$ sur $]-1~ ;1[$
• $\cos(z)=\rm \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\mathcal z^{2n}}{(2n) !}$ sur $\mathbb C$
• $\sin(z)= \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\mathcal z^{2n+1}}{(2n+1) !}$ sur $\mathbb C$

On considère des fonctions à valeurs dans $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
$\rm I$ et $\rm J$ représentent des intervalles de $\mathbb R$.
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ vers $\mathbb K$.
On note $\rm S_n=\displaystyle\sum_{\rm k=0}^{\rm n} \mathcal u_{\rm k}$ la somme partielle de rang $\rm n$ de la série de fonctions de terme général $u_{\rm n}$ : $\displaystyle\sum_{\rm n} \mathcal u_{\rm n}$.

Méthode 1 : Etudier la convergence de séries de fonctions

• Convergence simple :

Définition :

La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement si la suite de ses sommes partielles $\rm (S_n)$ converge simplement vers une fonction $\rm S$ appelée somme de la série de fonctions : $\rm S=\displaystyle \sum_{\rm n=0}^{+\infty}\mathcal u_{\rm n}$.

Théorème :

Il y a équivalence entre :

• La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$.
• La série numérique $\displaystyle \sum u_{\rm n}(\rm t)$ converge pour tout $\rm t\in I$.

Proposition :

Si la série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement alors $\rm S=S_n+R_n$ avec $\rm R_n = \displaystyle \sum_{\rm k=n+1}^{+\infty}\mathcal u_{\rm k}$, reste de rang $\rm n$ et la suite $\rm (R_n)$ converge simplement vers $0$.

• Convergence uniforme :
  

Définition :

La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément si la suite de ses sommes partielles $\rm (S_n)$ converge uniformément.

Théorème :

Il y a équivalence entre :

• La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément sur $\rm I$.
• La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement et la suite de ses restes $\rm (R_n)$ converge uniformément vers $0$.

• Convergence normale :
  

Définition :

La série de fonctions $\displaystyle \sum u_\rm n$ converge normalement si :

• Les fonctions $u_\rm n$ sont toutes bornées.
• La série numérique $\displaystyle \sum \|u_\rm n\|_{\infty}$ est convergente.

Remarque :

Pour prouver la convergence normale, il suffit de majorer la suite $(u_{\rm n})$ pour tout $\rm t\in I$ par une suite dont la série converge.

Théorème :

Convergence normale $\Rightarrow$ Convergence uniforme $\Rightarrow$ Convergence simple

Attention : les réciproques sont fausses.

Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites

Théorème :

Si $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ est une série de fonctions continues qui converge uniformément sur tout segment de $\rm I$, alors sa somme $\rm S$ est continue.

Remarque :

$(u_\rm n)$ converge uniformément sur tout segment de $\rm I$ vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\rm [a~ ;b]\subset I$, $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\rm [a~ ;b]$.

La convergence uniforme sur $\rm I$ entraîne la convergence uniforme sur tout segment de $\rm I$ mais la réciproque est fausse.

Théorème de la double limite :

Si $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément vers $u$ sur $\rm I$ et si chaque $u_{\rm n}$ tend en $\rm a$ vers une limite finie $\rm l_n$ alors la série numérique $\displaystyle \rm \sum l_n$ converge et $\displaystyle\rm \lim_{t\to a}\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n(t)= \sum_{n=0}^{+\infty}\lim_{t\to a}\mathcal u_n(t)$.

Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation

• Intégration sur un segment :

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ série de fonctions de $\rm [a ~;b]$ vers $\mathbb R$. Si :

• Chaque $u_{\rm n}$ est continue.
• $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément sur $\rm [a~ ;b]$

Alors $\displaystyle\rm S=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n$ est continue et $\displaystyle\rm  \sum_{n=0}^{+\infty}\int_a^b \mathcal u_n(t)dt=\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n(t)dt$

• Dérivation :

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ série de fonctions de classe $\rm C^1$ de $\rm I$ vers $\mathbb K$.

Si $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$ et si $\displaystyle \sum u_{\rm n’}$ converge uniformément sur tout segment de $\rm I$, alors $\displaystyle\rm S=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n$ est de classe $\rm C^1$ sur $\rm I$ et $\left (\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n\right )’=\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n’$.