Qu’appelle-t-on une particule libre ?
Il s’agit d’une particule non soumise à un potentiel. Dans ce cadre, on a :
$V(M,t)=0$
Dans ce cas, l’équation de Schrödinger s’écrit :
$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \Delta \Psi$
Comment établir les solutions en utilisant les ondes de de Broglie ?
On cherche les états stationnaires d’une particule libre non relativiste. Pour cela, on se place en dimension 1 selon l’axe (Ox) et on cherche la fonction d’onde sous la forme :
$\Psi(x,t)=\varphi(x)e^{i \omega t}$
En remplaçant dans l’équation de Schrödinger, on obtient l’équation différentielle :
$\varphi ‘’ (x)+k^2 \varphi=0$
Avec $k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar ^2}}$
Avec $E=\hbar \omega$
Remarque : On a la relation de dispersion d’une onde de de Broglie : $k^2=\frac{2m}{\hbar} \omega$. Le fait que $k$ dépende explicitement de $\omega$ nous apprend que la propagation dans le vide se fera de manière dispersive.
La résolution de cette équation différentielle donne :
$\varphi(x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$
Avec A et B des constantes.
D’où l’onde de de Broglie se propageant selon les x croissants (on prend donc $B=0$) :
$\Psi(x,t)) = Ae^{i \left( kx - \omega t \right)}$
Ainsi, le mouvement d’une particule libre peut être décrit par la fonction d’onde :
$\Psi(x,t)) = Ae^{i \left( px/ \hbar - E t / \hbar \right)}$
Avec $E=\hbar \omega = \frac{p^2}{2m} $
Et $p=\hbar k=h/ \lambda$ (relation de de Broglie)
Comment normaliser la fonction d’onde ?
Pour trouver la constante $A$, on doit utiliser la condition de normalisation :
$\int _{- \infty} ^{\infty} \lvert \Psi(x,t) \rvert ^2 d x =1$
Ce qui donne :
$\int _{- \infty} ^{\infty} \lvert A \rvert ^2 d x =1$
Or, cette intégrale diverge grossièrement, la fonction d’onde de De Broglie n’est donc pas normalisable. Elle ne peut donc représenter une particule.
Pour lever ce problème, il faut plutôt modéliser la particule par une somme d’ondes de De Broglie, c’est-à-dire par un paquet d’ondes de De Broglie.
Qu’est-ce que l’inégalité d’Heisenberg spatiale ?
L’inégalité d’Heisenberg spatiale à une dimension stipule que :
$\Delta x \times \Delta p \geq \hbar /2$
Avec :
$\Delta x$ la précision de la détermination de la position
$\Delta p$ la précision de la détermination de la quantité de mouvement $p= \hbar k$
Il s’agit d’un principe d’incertitude exprimant qu’il existe une limite à la précision avec laquelle on peut connaitre simultanément la position et la quantité de mouvement d’une particule.
On peut aussi exprimer l’inégalité d’Heisenberg relative à l’énergie :
$\Delta t \times \Delta E \geq \hbar /2$
