Équations polynomiales

Soit $f (x) = a{x}^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ $\Delta = b^2 - 4ac$.

Si $\Delta = 0$ l'équation $a{x}^2 + b x + c = 0$ a une solution double $\displaystyle x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Si $\Delta > 0$ l'équation $a{x}^2 + bx + c = 0$ a deux solutions distinctes réelles $\displaystyle {x}_1= \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle {x}_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions complexes conjuguées $x_1=\displaystyle\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et  $x_2=\displaystyle\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$. 

Exemple : $P(x)=x^2-x+1$.

Discriminant : $\Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0$ donc il y a deux racines complexes conjuguées: $x_1=\displaystyle\frac{1-i\sqrt{\Delta}}{2\times 1}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ et  $x_2=\displaystyle\frac{1+i\sqrt{\Delta}}{2\times 1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$.

Une équation polynomiale est une équation de la forme $P=0$ où $P$ est un polynôme.

Un polynôme est une fonction  $P$ définie par $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$. Chaque terme $a_ix^i$ est un monôme de degré $i$ et de coefficient $a_i$. Le polynôme $P$ est de degré $n$ et on note $deg P=n$  lorsque le monôme de degré $n$ n’est pas nul.

Si $P$ et $Q$ sont des polynômes, $deg P\times Q= deg P + deg Q$ et $deg(P+Q)\leq max(deg P ; deg Q)$.

Exemple : $P(x)=-x^2+x+2$ et $Q(x)=x^2+2x+4$   ($deg P= deg Q=2$).
On calcule $(P+Q)(x)=3x+6$  et on observe que $deg(P+Q)=1$.

Théorème : $z^n-a^n=(z-a)(z^{n-1}+z^{n-2}a+…+a^{n-1})$.

Le polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, il n’a pas de degré et il est nul pour n’importe quelle valeur de $x$.
La racine $x_0$ d’un polynôme $P$ est un nombre tel que $P(x_0)=0$.
Exemple : $x_0=\displaystyle\frac{1}{3}$ est la racine du polynôme $P(x)=3x-1$.

Théorème fondamental : Si $x_0$ est une racine du polynôme $P$ alors ce polynôme est factorisable par $(x-x_0)$, c’est-à-dire : $P(x)=(x-x_0)\times Q(x)$ où $Q$ est un polynôme de degré égal à celui de $P$ moins 1.
Exemple : $P(x)=3x^2-3x-6$, un polynôme du second degré.
Discriminant : $\Delta=b^2-4ac=81=9^2$ donc il y a deux racines réelles: $x_1=\displaystyle\frac{3-\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=-1$ et  $x_2=\displaystyle\frac{3+\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=2$ donc $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a$ constante. Ici $P(x)=3(x+1)(x-2)$. 

Théorème : Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.