Soit $A$, $B$, $C$, et $D$ quatre points du plan complexe, distincts deux à deux et soit $a,b,c$ et $d$ leurs affixes respectives.
Alors : $\displaystyle\frac{AC}{AB}=\Big|\displaystyle\frac{c-a}{b-a}\Big|$
et $(\vec{AB},\vec{AC})=arg \Big( \displaystyle\frac{c-a}{b-a}\Big) (2\pi)$.
Théorème : Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $ arg \Big( \displaystyle\frac{c-a}{b-a}\Big) =0 (\pi)$ autrement dit si $\Big( \displaystyle\frac{c-a}{b-a}\Big) $ est un nombre réel.
Théorème : Si $\Big( \displaystyle\frac{c-a}{b-a}\Big) $ est un nombre imaginaire pur, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Si ce nombre est égal à $i$ ou à $-i$, alors le triangle est rectangle isocèle en $A$.
Théorème : Pour démontrer qu’un triangle $ABC$ est équilatéral, il faut montrer que :
$ \displaystyle\frac{c-a}{b-a}=e^{i\pi/3} $ ou $ \displaystyle\frac{c-a}{b-a}=e^{-i\pi/3} $.
Définition : On appelle racine n-ième de l'unité tous les nombres complexes $z$ vérifiant $z^n=1$. Ce sont donc les nombres complexes $w_0,…,w_{n-1}$ s'écrivant :
$w_k=\exp \Big(\frac{2ik\pi}{n}\Big)$.
On note $\mathbb U_n$ l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
Théorème : Les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets du polygone régulier $P_n$ à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité. Le point unité 1 est un sommet commun à tous les $P_n$.
Exemple :
Si $n=3$, les racines n-ièmes de l'unité (1 ; $j$ et $j^2$) sont les sommets d’un triangle équilatéral.
Si $n=4$, les racines n-ièmes de l'unité (1 ;-1 ;$i$ et $-i$) sont les sommets d’un carré.
Théorème : Si $n$ est supérieur ou égal à 2, la somme des racines n-ièmes de l’unité est égale à 0 :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \exp \Big(\frac{2ik\pi}{n}\Big)=0$
