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Nombres complexes

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Nombres complexes et opération

Définition

Un nombre complexe z est écrit sous forme algébrique si z=a+bi, où a et b sont deux réels et où i est le nombre complexe tel que i2=1.

a est appelé la partie réelle de z et est noté Re(z) ; b est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im(z).

ˉz=abi est le nombre complexe conjugué de z=a+bi.

Addition et soustraction

Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.

Exemples : z1=3+5i et z2=2+3i

z1+z2=(3+5i)+(2+3i)=(3+(2))+(5+3)i=1+8i.

z1z2=(3+5i)(2+3i)=(3+2)+(53)i=5+2i.

Multiplication

Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que i2=1.

Exemple : z1=3+5i et z2=2+3i

z1×z2=(3+5i)(2+3i)=6+9i10i15=21i.

Division

Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple : z1=3+5i et z2=2+3i 

z1z2=3+5i2+3i=(3+5i)(23i)(2+3i)(23i)=69i10i+1513=919i13=9131913i.

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous la forme trigonométrique lorsque $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, avec $r\in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r = \rm OM$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z)$. Il est défini à $2\pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}~ ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm O~ ; \vec{u} ; \vec{v})$.

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0$,

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ et,

cos($\theta$) = $\frac{a}{r}$ et sin($\theta$) = $\frac{b}{r}$. 

On utilise ensuite le cercle trigonométrique.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, on a :

$a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.

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