Définition
La fonction logarithme népérien est l’unique primitive sur $]0~ ; + \infty[$ de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s’annule en 1. Elle est notée $x \mapsto \ln(x)$.
Elle est définie, continue et dérivable sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.
Pour tout $x \in\:]0~ ; + \infty[$, $\ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.
$\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1~ ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.
Propriétés algébriques
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :
$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel) ; $\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$.
Représentation graphique