Nombres complexes

Définition

Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.

$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $\mathrm{ Re}(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\mathrm{Im}(z)$.

$\bar{z} = a - bi$ est le nombre complexe conjugué de $z = a + bi$.

Addition et soustraction

Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.

Exemples : ${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$

${z}_1 + {z}_2 = (3 + 5i) + (-2 + 3i) = (3 + (-2)) + (5 + 3)i = 1 + 8i.$

${z}_1 - {z}_2 = (3 + 5i) - (-2 + 3i) = (3 + 2) + (5 - 3)i = 5 + 2i.$

Multiplication

Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que $i^2 = -1$.

Exemple : ${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$

${z}_1 \times {z}_2 = (3 + 5i)(-2 + 3i) = -6 + 9i -10i -15 = -21 - i.$

Division

Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple : ${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$ 

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 5i}{-2 + 3i} = \frac{(3+5i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)} = \frac{-6-9i-10i+15}{13} = \frac{9 - 19i}{13} = \frac{9}{13} - \frac{19}{13}i.$

Définition

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous la forme trigonométrique lorsque $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, avec $r\in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r = \rm OM$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z)$. Il est défini à $2\pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}~ ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm O~ ; \vec{u} ; \vec{v})$.

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0$,

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ et,

cos($\theta$) = $\frac{a}{r}$ et sin($\theta$) = $\frac{b}{r}$. 

On utilise ensuite le cercle trigonométrique.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, on a :

$a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.