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Fonctions polynômes de degré 3

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Fonctions cube

Fonction cube

La fonction cube (xx3) est définie et dérivable sur l’intervalle ] ;+[.

Sur cet intervalle, sa dérivée est la fonction x3x2 qui est strictement positive, sauf en x=0.

Elle est donc strictement croissante sur l'intervalle ] ;+[.

C’est une fonction impaire : sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Tangente à une courbe en un point

La droite représentant la "meilleure" approximation affine d’une fonction en un point est appelée tangente a la courbe représentative de cette fonction en ce point.

Nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction f en un point d'abscisse x0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x0. Il est noté f(x0).

Equation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0 a pour équation :

y=f(x0)(xx0)+f(x0).

Variations et extremum

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f’(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Si $f’(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d’une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f’(a) = 0$ et $f’$ change de signe en $a$.

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