Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Définition

Pour $a > 0$ fixé, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $\exp_a : x \mapsto a^x$.

Elle est définie et positive sur $\mathbb{R}$ ; $\exp_a(0)$ = 1.

Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

• pour 0 < $a$ < 1, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$.
• pour $a$ > 1, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.

Propriétés algébriques

Pour tous les $x$ et $y$ réels, et $n$ entier relatif :

$a^{x + y} = a^x \times a^y$ ; $a^{x - y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ ; $a^{nx} = (a^x)^n$.

Représentations graphiques selon les valeurs de $\bf a > 0$

$0 < a = 0,3 < 1$ ; $a = 2 > 1$

Définition

Le logarithme décimal, noté $\log$, est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

pour tout $b$ > 0, $\log(b)$ est l’unique solution de $10^x$ = $b$.

Pour $x$ > 0 et $a$ réel : $\log(x)$ = $a$ $\Leftrightarrow$ $x$ = $10^a$.

Elle est strictement croissante sur ]0 ; $+\infty$[.

Propriétés algébriques

$\log(1)$ = 0 donc log est négative sur ]0 ; 1] et positive sur [1 ; $+\infty$[.  

$\log(10) = 1$.

Pour tout $a$ et $b$ réels strictement positifs, et $n\in \mathbb{N}$ :

$\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)$ ;

$\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log(b)$ ;

$\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ ;

$\log(a^n) = n\log(a)$ ;

Pour $a = 10$, $\log(10^n) = n\log(10) = n$.

Equation et inéquation

$\log(a) = \log(b)$ $\Leftrightarrow$ $a = b$

$\log(a) \leq \log(b)$ $\Leftrightarrow$ $a \leq b$

Représentation graphique