Comportement des poutres en béton armé vis à vis du cisaillement

$\alpha =$ angle entre les armatures d'effort tranchant et la fibre moyenne de l'élément.
$\theta =$ angle entre la bielle de compression du béton et la fibre moyenne de l'élément $\bf F_{td} =$ valeur de calcul de l'effort de traction dans les armatures longitudinales
$\bf F_{cd} =$ valeur de calcul de l'effort de compression dans le béton dans la direction de l'axe longitudinal de l'élément
$\bf b_w =$ la plus petite largeur de las section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimées
$\bf z =$ bras de levier des forces internes, pour un élément de hauteur constante, correspondant au moment fléchissant de l'élément considéré. S'il n'y a pas d'effort normal, $\mathcal z \simeq 0,9d$ dans le cas d’un pré-dimensionnement.

Les armatures d'effort tranchant vont traverser ces bielles de compression pour reprendre les efforts de traction des sections fissurées. Elles sont souvent positionnées verticalement. La maille élémentaire est définie par le triangle de la figure ci-contre.
Le nombre de mailles pour l'intervalle s est défini par :

$n = z \times \rm \dfrac{[cot(\alpha) + cot (\theta)]}{s}$
$\rm 1 \leq cot (\theta) \leq 2,5$
$45°\leq \alpha \leq 90°$

On démontre pour les armatures d’effort tranchant :

$\rm F_{sw} = \dfrac{V'_{Rd,s}}{\sin (\alpha)} = \dfrac{V_{Rd,s}S}{\mathcal z [cot (\alpha) + cot (\theta)]\sin (\alpha)}$

On démontre pour les bielles de béton comprimées :

$\rm F_{c,bielle} = \dfrac{V'_{Rd,s}}{\sin (\theta)} = \dfrac{V_{Rd,s}S}{\mathcal z[cot (\alpha) + cot (\Theta)]\sin (\theta)}$

$f_{\rm c,bielle} = \dfrac{\rm F_{c,bielle}}{b_{\rm w} \times \rm s \times \sin (\theta)}$

$f_{\rm c, bielle} = \dfrac{\rm V_{Rd,s}S}{b_{\rm w} \mathrm s z [\rm cot (\alpha) + cot (\theta)]\sin^2(\theta)}$

$f_{\rm c, bielle} = \dfrac{\rm V_{Rd,s}}{b_{\rm w} \mathrm s z [\rm cot (\alpha) + cot (\theta)]\sin^2(\theta)}$

Dans le cas fréquent où les armatures d'effort tranchant sont positionnées perpendiculairement à la fibre moyenne de la poutre $(\alpha = 90°)$, et l'angle des bielles positionné à $\theta = 45°$, on obtient le résultat simplifié suivant :

$f_{\rm c,bielle} = \dfrac{\rm 2V_{Rd,s}S}{b_{\rm w}z}$

$\rm \dfrac{F_{sw}}{A_{sw}} = \dfrac{V_{Rd,s}S}{A_{sw}\mathcal z [cot(\alpha)+cot(\theta)]\sin (\alpha)}\leq \mathcal f_{ywd}$
$\Rightarrow \rm A_{sw} \geq \dfrac{V_{Rd,s}S}{\mathcal f_{ywd}\mathcal z [cot(\alpha) + cot (\theta)]\sin (\alpha)}$

Si $\theta = 45° \rightarrow \tau = \dfrac{\rm V_{ED}}{b_{\rm w}d} \leq 0,5 \nu f_{\rm cd}$ avec $\nu = 0,6 \times \left(1 - \dfrac{f_{ck}}{200}\right)$

Effort tranchant maxi supporté par le béton pour $\theta θ < 45°$ :

$\rm V_{Rd,max} = \alpha_{cw}\mathcal b_w\mathcal{z\nu}_1 \mathcal{f_{cd}} \rm \dfrac{cot(\theta) + cot (\alpha)}{1+cot^2(\theta)}$

$v_1$ étant un coefficient réducteur de la résistance de l’âme de la poutre.

Pour les structures non précontraintes : $\rm \alpha_{cw} = 1$

Effet sur les armatures longitudinales tendues. Le fibre neutre est placée au milieu de la section. Pour « $n$ » mailles, nous aurons :

$\rm N+F_{cd}−F_{td}=\mathcal n(F_{c ,bielle} \cos(\theta)−F_{sw} \cos(\alpha))$ $= n\left(\frac{\rm V_{Rd,s}S \times \cos (\theta)}{z[\rm cot (\alpha) + cot (\theta)]\sin (\theta)} - \frac{\rm V_{Rd,s}S \times \cos(\alpha)}{z[\rm cot(\alpha) + cot (\theta)]\sin (\alpha)}\right)$

$\rm N + F_{cd} - F_{td} = \mathcal n\left(\frac{V_{Rd,s}S \times cot (\theta)}{\mathcal z [cot (\alpha) + cot (\theta)]} - \frac{\rm V_{Rd,s}S \times cot (\alpha)}{\mathcal z[cot(\alpha) + cot (\theta)]}\right)$ $= n\left(\frac{\rm V_{Rd,s}S \times (cot (\theta) - cot (\alpha))}{z[\rm cot (\alpha) + cot (\theta)]}\right)$

$n = z \dfrac{[\rm cot (\alpha) + cot (\theta)]}{\rm S} \Rightarrow \rm N + F_{cd}-F_{td}$ $= \rm V_{Rd,s}\times (cot(\theta) - cot(\alpha))$

$\rm F_{cd} = F_{td} \Rightarrow N = V_{Rd,s} \times (cot(\theta)-cot(\alpha))$

$\rm F_{td} \times \mathcal z = N \times \dfrac{\mathcal z}{2} \Rightarrow F_{td}$ $\rm = \dfrac{V_{Rd,s}}{2} \times (cot (\theta) - cot (\alpha))$

Cette valeur doit être rajoutée à l'effort de traction dans la fibre horizontale tendue, du au moment fléchissant. C'est la raison pour laquelle elle porte le nom de $\rm\Delta F_{td}$.
D’où : $\rm\Delta F_{td} = \dfrac{V_{Ed}}{2}\times (cot(\theta) - cot(\alpha))$

Il faut vérifier en toute section de la poutre, l'inégalité suivante :

$\rm F_{td} = \dfrac{M_{Ed}}{\mathcal z} + \Delta F_{td} \leq \dfrac{M_{Ed,max}}{\mathcal z}$ où $\rm M_{Ed,max}$ est le moment maximal le long de la poutre. Cela équivaut à considérer un décalage de la courbe enveloppe des moments fléchissants correspondant à un segment $\bf a_v$ tel que : $a_v = \dfrac{z}{2} \times (\rm cot (\theta) - cot (\alpha))$

Exemple de vérification au cisaillement d’une poutre en Té.

$\rm \theta = 21,8° \Leftrightarrow cot(\theta)=2,5$
$\rm \theta = 45° \Leftrightarrow cot(\theta)=1$

$\Rightarrow 21,8° \leq \theta \leq 45°$ $\rm \Leftrightarrow 1\leq cotg \theta \leq 2,5$

La valeur obtenue avec $\rm cotg(\theta) = 2,5$ nous la valeur mini de l’effort tranchant maxi.

$\mathrm{V_{Rd,max}} = \alpha_{cw}b_{w}z\nu_1f_{cd}\dfrac{\rm cot(\theta)+cot(\alpha)}{\rm 1 + cot^2(\theta)}$

$\rm V_{Rd,max} = 1 \times 0,55 \times (0,9 \times 1,00)$ $\times$ $\left[0,6 \times \left(1 - \frac{45}{250}\right)\right] \times \left(\frac{1\times 45}{1,5}\right) \times \left[\frac{2,5 + 0}{1+ 2,5^2}\right]$

$\rm V_{Rd,max} = 2,519~MN$

En faisant $\rm cot(\theta)= 1$, on obtient $\rm 3,653~MN$.

$\rm V_{se} = 1,502~MN < V_{Rd,max} = 2,519~MN$ $\Rightarrow \text{OK pour cot}(\theta)=2,5$

Si cette condition n'était pas vérifiée, il aurait fallu calculer $\theta$ en faisant $\rm V_{se} = V_{Rd,max}$, en vérifiant $\rm cot(\theta) \geq 1$.

Évaluation de l’espacement des cadres . Avec $z = 0,9d$ $\rightarrow \rm A_{sw} \geq \frac{V_{Rd,s}S}{\mathcal f_{ywd}\mathcal z [cot(\alpha) + cot (\theta)]\sin (\alpha)}$

$\rm S \leq \dfrac{6,786 \times 10^{-4}}{1,502} \times \left(\dfrac{500}{1,15}\right)$ $\times$ $(0,9 \times 0,856) \times (0+2,5 \times 1)$
$\rm S \leq 0,378~m$

L'effort tranchant impose de vérifier les armatures longitudinales ancrées au droit de l'appui.

$\rm N=V_{Rd ,s}\times (cot(\theta)−cot(\alpha))$ $\rm =1,502\times (2,5−0) = 3,755~MN$
$\Rightarrow \rm A \geq \dfrac{3,755}{\left(\frac{500}{1,15}\right)} = 0,008637~m^2$ $\rm = 86,37~cm^2$

On laissera deux lits de $\rm 6~ HA~ 32$ $\rm (96,51~cm^2)$ afin de garantir au moins cette section. On remarquera l’effet accentué sur les aciers longitudinaux à cause de la forte inclinaison des bielles.