Poteaux

Les déformations dans les poteaux sont liées à deux phénomènes :

• Déformation par compression simple, liée à des forces bien placées dans l’axe du poteau, dont la section est supposée parfaitement symétrique.
• Déformation liée à phénomène du second ordre, appelé flambage ou flambement, qui tient compte du fait que le poteau est très élancé et a des formes imparfaites.

On commencera par les poteaux bi-articulés, donc sans déplacement latéral en tête et en pieds (figure ci-dessous). On suppose que la liaison supérieure peut suivre le mouvement d’affaissement.

$\mathrm M_{(x)} = −\mathrm Fy_{(x)}$ $\Rightarrow \mathrm{EI}y_{(x)}^{''} + \mathrm Fy_{(x)} = 0$ $\Rightarrow y_{(x)}^{''} + \dfrac{\rm F}{\rm EI} y_{(x)} = 0$
$\alpha^2 = \dfrac{\rm F}{\rm EI} \Rightarrow y_{(x)}^{''} + \alpha^2 y_{(x)}=0$

C’est une équation différentielle du $\rm 2^{ème}$ ordre sans second membre dont la solution peut se mettre sous la forme d’une exponentielle complexe ou sous la forme d’une combinaison de sinus et cosinus (voir rappels de mathématiques).

$y_{(x)}=\mathrm A \sin(\alpha x)+ \mathrm B \cos(\alpha x)$

Conditions aux limites :

$x=0 \Rightarrow y_{(x=0)}=0 \Rightarrow \rm B=0$
$x = l \Rightarrow y_{(x=l)}= 0 \Rightarrow \mathrm A\sin(\alpha l)=0$
$\Rightarrow$ soit $\rm A=0$ sans interêt ou soit $\sin (\alpha l)=0 \Rightarrow \alpha = k \dfrac{\pi}{l}$

Il y a une infinité de solutions, mais la nature préfère la solution la plus simple, soit :

$k=1 \Rightarrow \alpha = \dfrac{\pi}{l} = \sqrt{\dfrac{\rm F}{\rm EI}}$
$\dfrac{\rm F}{\rm EI} = \dfrac{\pi^2}{l^2}$ $\Rightarrow \mathrm F = \dfrac{\pi^2 \rm EI}{l^2}$ $\rightarrow$ Force critique d'Euler.

Rayon de giration $r=\rm\sqrt{\dfrac{I}{S}}$ ; élancement $\lambda= \dfrac{l_c}{r}$ $l_c =$ longueur de flambement $= l$ $\Rightarrow \sigma_c = \dfrac{\pi^2 \rm E}{\lambda^2}$ $\rightarrow$ Contrainte critique d'Euler liée au flambement.

Pour qu’un poteau résiste correctement à un effort vertical centré, il faudra vérifier deux contraintes :

$\sigma \leq \sigma_c = \dfrac{\pi^2\rm E}{\lambda^2}$ (flambement) et $\sigma \leq \overline\sigma$ $\rightarrow$ contrainte admissible.

Exemple :

Poteau en acier $\rm S_{235}$, de section creuse $\rm 100 \times 200~mm$ réalisé avec une tôle de $\rm 4~mm$. La hauteur est de $\rm 5,00~m$. Le poteau est bi-articulé. Charge axiale $\rm F=25~000~daN$ $\rm = 250~kN$

Contrainte admissible :

$\sigma = \dfrac{f_{\rm e}}{\gamma_s} = \dfrac{235}{1,1} = 213~\rm Mpa$

Contrainte critique d’Euler :

$\rm I = \dfrac{20\times 10^3}{12} − \dfrac{19,2\times 9,23}{12} = 420,77~cm^4$ $\rm S = 20 \times 10 − 19,2 \times 9,2 = 23,36~cm^2$
$\Rightarrow r = \rm\sqrt{\dfrac{I}{S}} = \sqrt{\dfrac{420,77}{23,36}} = 4,244~cm$ $\Rightarrow \lambda = \dfrac{l_c}{r} = \dfrac{500}{4,244} = 117,81$
$\sigma_c = \dfrac{\pi^2\rm E}{\lambda^2}  = \dfrac{\pi^2 \times 210~000}{117,81^2} = 149,33~\rm Mpa$
$\rm\sigma = \dfrac{F}{S} = \dfrac{0,25}{23,36\cdot 10^{−4}}$ $\rm = 107,02~Mpa \Rightarrow \sigma < min$ $\rm [\sigma_c = 149,33~Mpa ~;~ \overline\sigma=213~Mpa]$ $\rm \Rightarrow OK$

Remarque : Le moment quadratique est calculé dans le sens le plus faible.

Pour les poteaux bi-encastrés, encastrés en pied et articulés en tête, encastrés en pieds et libre en tête, on définit une longueur critique de flambement, comme indiqué dans le tableau ci-après :

Dans la pratique, il y a d’autres facteurs pénalisant la résistance des poteaux, mais cela fait partie des règlements $\rm EC2$ (béton), $\rm EC3$ (acier), $\rm EC4$ (acier + béton), $\rm EC5$ (bois), $\rm EC9$ (aluminium).

Poteau d’égale résistance en tenant compte du poids propre. La section $\mathrm S_{(y)}$ est variable, le poids volumique est $\rm p/m^3$, avec une charge $\rm F$ dans le sens négatif en tête de poteau. La surface de la section en tête de poteau est un disque et reste un disque quelle que soit la variable $y$.

$\mathrm S_{(y)} = \pi \mathrm R_{(y)}^2 \Rightarrow \mathrm V_{(y)} = \pi\rm R_{(y)}^2 dy$

Poids du poteau entre h et $y$ :

$\sigma = \dfrac{−\rm F}{\pi \rm R_{(h)}^2} \Rightarrow R_{(h)} = \sqrt{\dfrac{\rm −F}{\pi\sigma}}$

L’équilibre de l’élément de volume $\mathrm S_{(y)}dy$ s’écrit :

$\sigma \times (\mathrm S + d\mathrm S)− \sigma S − p\mathrm Sdy=0$ $\Rightarrow p\mathrm Sdy = \sigma d\mathrm S$ $\Rightarrow \dfrac{d\rm S}{\rm S} = \dfrac{pdy}{\sigma}$ $\Rightarrow \ln\rm S=\dfrac{p}{\sigma} y + \rm C$ $\Rightarrow \mathrm S = \mathrm{Ke}^{\frac{p}{\sigma}y}$
$\rm \sigma = \dfrac{−F}{S_0} \Rightarrow S = Ke^{\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}\mathcal y}{S_0}}$
$\rm S_0 = Ke^{\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}h}{S_0}} \Rightarrow K= \dfrac{S_0}{\left(\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}h}{e^{S_0}}\right)}$ $\rm = S_0 \times \left(\dfrac{\frac{\mathcal p}{ −F}h}{e^{S_0}}\right) = S_0 \times e^{\left(\frac{S_0\mathcal ph}{F}\right)}$ $\rm\Rightarrow S = S_0 \times e^{\left(\frac{S_0\mathcal ph}{F}\right)} \times e^{\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}\mathcal y}{S_0}} = S_0\times e^{\left(\frac{S_0\mathcal p(h−\mathcal y)}{F}\right)}$
$\rm S_0 = \pi R_0^2 \Rightarrow S = \pi R_0^2 \times e^{\left(\frac{\pi R_0^2 \mathcal p (h−\mathcal y)}{F}\right)}$

Exemple de construction s’inspirant de cette loi de variation :

La tour Eiffel réalisée par l’entreprise Eiffel, du nom de son créateur Gustave Eiffel.
Conception : Maurice Koechlin, Émile Nouguier
Architecte : Stephen Sauvestre

• Construite entre le 28/01/1887 et le 31/03/1889.
• $18~038$ pièces métalliques et $2~500~000$ rivets
• Poids : $7~800$ tonnes dans sa version d’origine.

• Hauteur à l’origine : $\rm 312,27~m$
• Hauteur actuelle : $\rm 324~m$

• Déplacement du sommet.
• Sous l’action de la chaleur : $\rm 18~cm ~(\uparrow)$
• Sous l’action du vent : $\rm 7~cm~ (\rightarrow)$

• Écartement des piliers à la base : $\rm 124,90~m$
• Distance entre piliers : $\rm 72,25~m$